※ 引述《ivorycoast ()》之銘言：
: http://ppt.cc/ijJG
: 想從根與係數或判別式下手好像都會卡住，
: 請教高手了!!
原題:
x^2+(1+a)x+(1+a+b)=0,有兩實根α,β,其中0<α<1,β>1
求b/a的範圍
令f(x)=x^2+(1+a)x+(1+a+b)
顯然"f(0)>0且f(1)<0"為"x^2+(1+a)x+(1+a+b)=0,有兩實根α,β,其中0<α<1,β>1"
的充分必要條件
--------------------------------------------------------
補證:
(<==)
因為有相異兩根0<α<1<β,
所以f(x)=(x-α)(x-β)
在α<x<β內,有f(x)<0
在x<α或x>β內,有f(x)>0
所以f(1)<0且f(0)>0
(==>)
因為f(0)>0且f(1)<0
所以在(0,1)開區間內至少有一根
又因為lim f(x)=lim x^2(1+(1+a)/x+(1+a+b)/(x^2))=∞
x→∞ x→∞
所以存在M>1使得f(M)>0
因此在(1,M)開區間內至少有一根
因為f(x)為一元二次函數,所以恰只有上述兩根
一根介於0,1之間
一根大於1
--------------------------------------------------------
(*): f(0)=1+a+b>0
f(1)=1+(1+a)+(1+a+b)<0
整理得:
(*): 1+a+b>0----------<1>
3+2a+b<0---------<2>
((a,b)=(-4,4)顯然為(*)的解,因此解非空)
(1)
由<2>知
(2+a)+(1+a+b)<0
再由<1>必有
2+a<0
因此a<-2
(2)
令b/a=k,即b=ak
代回原式:
(**): 1+a(1+k)>0---------<3>
3+a(2+k)<0---------<4>
(3)
由<4>,a<-2<0可知:
2+k>0
(4)
顯然若-2<k≦-1則(**)必有解(可令a=-4/(2+k))
(5)
若k>-1
則(**)有解<==>" -1<k<-1/2 "
(==>)
(**)有解:
所以:(k+2>k+1>0)
a>-1/(1+k)
a<-3/(2+k)
所以-1/(1+k)<a<-3/(2+k)
-1/(1+k)<-3/(2+k)
2+k>3(1+k)=3+3k
-1>2k
-1/2>k
(<==)
若-1<k<-1/2則
-1/2>k
-1>2k
2+k>3(1+k)=3+3k
-1/(1+k)<-3/(2+k) (k+2>k+1>0)
令a=(-1/(1+k)-3/(2+k))/2
必有-1/(1+k)<a<-3/(2+k)
因此
a>-1/(1+k)
a<-3/(2+k) (k+2>k+1>0)
1+a(1+k)>0
3+a(2+k)<0
(6)
綜合(4),(5):
所求-2<b/a<-1/2
--
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.114.34.121