推 Intercome :用圓周角等於圓心角的一半不是比較快嗎? 10/26 09:30
推 arkdj :AE=BC的題目是同張試卷的另一題，直接以AC向外作正三 10/26 16:04
→ arkdj :角形後以圓周角即可求得30°…但我要的是AE=2BC… 10/26 16:05
→ cometic :感謝Intercome與arkdj的解法^^ 10/26 16:25
※ 引述《arkdj (洢斷)》之銘言：
: 已知等腰三角形ABC，AB=AC，角B=80度
: E為AB上一點且AE=2BC
: 求角BEC=？
: 想了很久
: 有請版上高手解答！
若題目改為
已知等腰△ABC，AB=AC，∠B=80°
E為AB上一點且AE=BC
求∠BEC=？
Ans:30°
證:
→ →
(1) 先延長AC,在AC上取一點D,使得ED=AE
→
(2) 在AC上取一點C',使得DC'=AE且D介於A跟C'中間
→ →
(3) 延長AB,在AB上取一點B',使得AB'=AC'
(4) 顯然△AB'C'為等腰三角形
(5) 在△AB'C'外側取一點F,使得△DC'F為正三角形且∠B'C'F=140°
(6) 可以推得
∠AB'C'=∠AC'B'=80°,∠DC'F=∠DFC'=∠C'DF=60°
∠ADE=20°,∠EDC'=160°,∠ADF=120°,∠EDF=140°
∠AED=140°,∠B'ED=40°
(7) 觀察△AED與△EDF:
因為∠AED=140°=∠EDF,AE=ED,ED=DF
因此△AED與△EDF全等 (SAS)
所以AD=EF,∠FED=20°=∠EFD
(8) 觀察△B'EF:
因為B'E=AB'-AE=AC'-C'D=AD=EF, ∠B'EF=∠B'ED+∠DEF=40°+20°=60°
所以△B'EF為正三角形
因此∠EB'F=60°=∠EFB',B'F=B'E=EF=AD
(9) 可推得
∠DFB'=40°,∠C'FB'=20°,∠DEC'=10°=∠DC'E,∠B'EC'=30°
(10)觀察△B'C'F與△AED
因為AD=B'F, ∠C'FB'=20°=∠EDA, C'F=ED
所以△B'C'F與△AED全等 (SAS)
所以B'C'=AE
(11)觀察△ABC與△AB'C'
因為∠ABC=80°=∠AB'C',BC=AE=B'C',∠ACB=80°=∠AC'B'
所以△ABC與△AB'C'全等 (ASA)
因此AB=AB',AC=AC'
B=B',C=C'
(12)可推得
∠BEC=∠B'EC'=30°
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