Re: [中學] 切線問題

[LPH66 (杇瑣)]

※ 引述《yourfriend (祈禱)》之銘言：
: ※ 引述《cnick (cnick)》之銘言：
: : 想請問一題
: : a為實數,過P(a,2)作y=f(x)=x^3-3x^2+2的切線,
: : 若所作的切線恰有一條,求a的範圍
: : ____________________________________________________
: : 此題給的參考答案是設切點
: : 然後利用切點恰一解之情況求出 1/3 < a < 3
: : 但是我想請問的是 如果P(a,2)本身就是切點的話
: : 也就是說此時a=0或3
: : 這時候通過切點P(a,2)的切線不是也是恰一條而已嗎?
: : 謝謝
: 不好意思~可以請問一下關於這題
: 用代數式求後還是有點不太懂的地方，
: 想請問能否有高手幫忙解答，謝謝!!
: 因為如果把:
: P(a,2)分成----(1)P不屬於f(x)，得到結論是t(2t^2-3(a+1)t+6a)=0
:                               因為只有一解，
:                               再分為t=0  => D<0  => 1/3 < a < 3
:                                  及t≠0  => D=0  => a=1/3   為什麼這解不行??
:               (2)P屬於f(x)
:                               a=0 or a=3 應該帶到哪去才可以驗算不合呢??
首先  這條方程不管 P 在不在 f(x) 上都成立

(因為只有用到所設的切點跟點斜式而已)

因此你的問題 (2) 的答案就是上面那條式子

a = 0 代入得 t(2t^2-3t) = 0 有三實數解 0,0,3/2

a = 3 代入得 t(2t^2-12t+18) = 0 也有三實數解 0,3,3

因此在圖上都是兩條切線  可以再看一下它們的圖

http://w.csie.org/~b94102/math/Math57a.png a = 0 對應 t = 0, 3/2
http://w.csie.org/~b94102/math/Math57b.png a = 3 對應 t = 0, 3

至於問題 (1)  你應該有注意到這條方程是 t 的三次方程

我推文所說的解數就是指這條 t 的三次方程的解數

既然 t = 0 一定是這方程的一個實數解

因此這條三次方程如果要只有一實數解  只能讓括號裡的二次式無實數根

所以才會得到 D < 0 是條件

(還有一個可能是當這條式子是三重根時  不過顯然這個式子不會變成這樣)

也就是說討論 t≠0 事情只有做一半  因為那不是在討論這個三次方程的所有解數

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話說回來 a = 1/3 的狀況其實很有趣

代入上面式子後會得到 t(2t^2-4t+2) = 0  解為 0,1,1

而它對應的圖形是這樣:

http://w.csie.org/~b94102/math/Math57c.png

切點 (1,0) 正好也是這個三次函數圖形的反曲點 XD

仔細觀察這三張圖就會發現切過 (0,2) 的綠線一直都在那裡

這正是上面那個三次方程一定有 t = 0 這一個實數解的直接結果

因此會去討論 t≠0 我只能覺得一定是有哪裡搞錯了...

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※ 編輯: LPH66           來自: 180.218.108.125      (11/02 11:06)
推 yourfriend  :還在找尋我的盲點中，不過謝謝~至少有個方向了!
推 yourfriend  :經過了想了一下發現，我執著的點應該是認為y不為0時
→ yourfriend  :後面那個二次方變成重根，這不就只有一解嗎?
→ yourfriend  :不過後來我發現我這樣想的問題了，因為這樣實帶進去
→ yourfriend  :卻仍有三個解，所以真正可能的，還是只有(t=0)+無解
→ yourfriend  :這樣就明了!!謝謝，不過慢回不是想很久，是因為每次
→ yourfriend  :ㄒ想不出就先放著，所以有拖到時間!