→ yyc2008 :可以請問一下此文轉自？ 11/02 23:19
推 andy2007 :好厲害~~ 11/02 23:39
推 fasteddy :太棒了 最近電磁學講這個我都一知半解 11/03 01:04
→ jurian0101 :批兔個板 11/03 10:40
推 cometic :推! 11/06 20:45
: 以下證明出自YOUTUBE 教學影片
: DigitalUniversity - Super Powerful Vector Identities Technique
: 共有 21 部影片 這裡是總整理兼中譯
http://www.youtube.com/watch?v=N1YBgU-xu6A
- - - -
這裡不是柯西取極限用的εδ，
δ是Kronecker's Delta， ε是Levi-Civita Symbol又稱Permutation Symbol
{ 1, ijk 是一個 偶對換
{ 1, i==j {
δ[i,j] = { ε[i,j,k] = { -1, ijk 是一個 奇對換
{ 0, i!=j {
{ 0, ijk 並非兩兩相異
說明 i,j,k = 1 or 2 or 3 偶(奇)對換指將 {1,2,3} 中兩數次序對換，做偶(奇)數次
然後用形式化的方法將所有向量公式變成形式變換，超像Mathematica會做的事~~
好處是有些非常不直觀的向量公式可以用更基本的算式推出；壞處是比較慢，廢話所有
方法當然都比背公式慢。
還有一個重要的補助工具，非常簡潔與強力，喚之曰 Einstein's notation
愛因斯坦求和約定，一言蔽之就是相乘者有相同下標i代表對所有i的取值求和
例如我們肉眼看起來像 Einstein 但其實他是
Σ E_in ste_in ...假的
in
- - - -
::式1::向量A的component型式
A = A_1 e_1 + A_2 e_2 + ... | A = A_i e_i
::輔1::取向量的component
A_i = A‧e_i
::式2::向量點積
A‧B = A_1 B_1 + A_2 B_2 + ... | A‧B = A_i B_i = A_p B_q δ_pq
::輔2::(正交)基底向量的點積
e_i‧e_j = δ_ij
::輔3::取向量component
A_i‧δ_ij = A_j 勿忘愛因斯坦與他的隱形Σ
有趣的是另一個δ: Dirac δ func. 有等式
∞
∫ f(x)δ(x-y) dx = f(y)
-∞
把δ想像成一個"替換"算符，像Mathematica的Replace[]的感覺
::式3::方陣判別式 轉 ε公式
| a11 a12 a13 |
det[A ] = | a21 a22 a23 | = ε_ijk a_1i a_2j a_3k
3x3 | a31 a32 a33 |
對>3階的矩陣也成立，ε_1234...n的取值還是用偶/奇對換 = 1/-1定義
::輔4::正交基底向量的叉積
e_i x e_j = ε_ijk e_k {i,j,k} 取 {1,2,3}
::式4::兩向量外積
| e_1 e_2 e_3 |
A x B = | A_1 A_2 A_3 | = ε_ijk A_i B_j e_k ( = ε_ijk e_i A_j B_k )
| B_1 B_2 B_3 |
::輔5:: 外積的component
(A x B)_i = A x B ‧ e_i = ε_ijk A_j B_k
建議寫成 = ε_ijk A_j B_k (e_i‧e_i)
用一個隱形的 1 可提醒ε下標的正確順序
看起來比AxB的公式短，奇怪嗎？不，那都是因為隱形的愛因...我是說Σ。
::式5:: 向量三重積
A‧B x C = ε_ijk A_i B_j C_k
從判別式形式而來，或者
A‧(BxC)= A_i (BxC)_i = A_i (ε_ijk B_j C_k )
= ε_ijk A_i B_j C_k
::輔6::
ε和δ的關係式
| δ1i δ1j δ1k | | δi1 δi2 δi3 |
ε_ijk = | δ2i δ2j δ2k | = | δj1 δj2 δj3 |
| δ3i δ3j δ3k | | δk1 δk2 δk3 |
|1 0 0| |0 1 0| |1 0 0|
例如ε_123 =|0 1 0|=1 , ε_213 =|1 0 0| = -1 , ε_113 =|1 0 0| = 0
|0 0 1| |0 0 1| |0 0 3|
::輔7::
重要☆☆☆☆☆
由兩矩陣S、T，det(ST) = det(S) det(T) 開始推算
| δi1 δi2 δi3 |
det S =ε_ipq = | δp1 δp2 δp3 |
| δq1 δq2 δq3 |
| δ1i δ1m δ1n |
det T =ε_imn = | δ2i δ2m δ2n |
| δ3i δ3m δ3n |
det(ST) = ε_ipq ε_imn
| δizδzi δizδzm δizδzn |
= | δpzδzi δpzδzm δpzδzn |
| δqzδzi δqzδzm δqzδzn |
注: 採用愛的誓約...我是說愛氏求和約定
其中 δizδzi = δii = 3
= ...
= 3 (δpmδqn - δpnδqm) - 2 (δpmδqn - δpnδqm)
ε_ipq ε_imn = δpmδqn - δpnδqm ■■
記憶法是 10x10 = 11x00 - 10x01
這表示用到兩個ε記號就會讓項數增加一倍，也就是向量公式裡出現兩重外積時的情形。
詳見後文^_^
::輔8::
如果共用兩個、三個下標的情形
ε_ijp ε_ijq = δjjδpq - δjpδqj
= 3 δpq - δpq = 2 δpq
*
ε_ijk ε_ijk = 2 δkk = 6
::式6:: (AxB)‧(CxD) = (A‧C)(B‧D) - (A‧D)(B‧C) 完全不直觀又頭大之式
證
(AxB)‧(CxD) = (AxB)_i (CxD)_i = (ε_ijk A_j B_k) (ε_imn C_m D_n)
註、兩個ε除了i之外要用不同的下標，這是因為隱形Σ求和會互相分配，彼此獨立。
= (ε_ijk ε_imn) A_j B_k C_m D_n
= (δjmδkn - δjnδkm) A_j B_k C_m D_n
分組 = (A_j C_m δjm) (B_k D_n δkn) - (A_j D_n δjn)(B_k C_m δkm)
得證 = (A‧C)(B‧D) - (A‧D)(B‧C) ■■
看吧，兩個叉積就會變兩項
::式7:: A x (B x C) = (C‧A)B - (B‧A)C 寫成這樣應該是方便記: 計程車-背 XD
證 A x (B x C) = [ε_ijk A_i (BxC)_j ] e_k
= [ε_ijk A_i (ε_jpq B_p C_q)] e_k
= [(ε_jki ε_jpq) A_i B_p C_q] e_k
= [(δkpδiq - δkqδip) A_i B_p C_q] e_k
= [(A_i C_q δiq) (B_p δkp) - (A_i B_p δip)(C_q δkq)] e_k
= (C‧A) B_k e_k - (B‧A) C_k e_k
= (C‧A)B - (B‧A)C
由幾何意義來想，Ax(BxC)這向量垂直於A，也垂直於BxC，即BC平面的法向量
由第二點此向量必定位在BC平面上，可以寫成 xB + yC， (xB+yC)‧A = 0
故 x:y = (C‧A) : (B‧A)
::式8:: 自求苦惱的四重向量積 (AxB) x (CxD)
這完全不建議背，由幾何意義來想，此向量必定在AB平面和CD平面的交線上，
所以應該可以寫成A、B的線性組合，也可以寫成C、D的線性組合。
(AxB) x (CxD) = ε_ijk (AxB)_i (CxD)_j e_k
= ε_ijk (ε_ipq A_p B_q) (ε_irs C_r D_s) e_k
= ...
粉紅配黃ε得到 = (A‧CxD) B - (B‧CxD) A
粉紅配綠ε得到 = (D‧AxB) C - (C‧AxB) D
- - - - - - - - 下方是未完工的分隔線
接著是與▽算子有關的更奧祕的東東
- - - - - - - - 繼續開工的分隔線
Gradient、Divergence、Curl ，以下用記帳符號的五=〥代替偏微分符號
grad(f) := 〥f/〥x_1 e_1 +〥f/〥x_2 e_2 + ...
▽f = 〥f/〥x_i e_i = 記作 〥_i f e_i
形式上
▽ = 〥_i (空格) e_i (〥_i是〥/〥x_i的簡記)
分量
▽f_i = ▽f‧e_i = 〥_i f
形式上
▽_i = 〥_i
::式9:: Divergence
向量場Ｖ: (x_1,~,x_n)->(Ｖ1 e_1,~,Ｖn e_n)，其散度
div(Ｖ) = ▽‧Ｖ = ▽i Ｖ_i
= 〥_i Ｖ e_i
形式上
▽‧ = 〥_i (空格) e_i
::式10:: 旋度 Curl
| ▽_1 ▽_2 ▽_3 |
| |
▽xＶ = | Ｖ_1 Ｖ_2 Ｖ_3 | = εijk 〥_i Ｖ_j e_k
| |
| e_1 e_2 e_3 |
▽xＶ = εijk 〥_i Ｖ_j
::式11:: 梯度場的旋度為零 Curl(Grad(f)) = ▽x▽f = 0
▽x▽f = εijk 〥_i ▽f_j e_k
= εijk 〥_i (〥_j f) e_k (#)
因微分順序可自由交換
= εijk 〥_j (〥_i f) e_k
= - εjik 〥_j (〥_i f) e_k
替換下標{j,i,k}->{i,j,k}，注意這樣結果這樣就與(#)式相同，x = -x 可知 x=0
= 0
::式12:: 叉積的散度
▽‧(AxB) = (▽xA)‧B - (▽xB)‧A
證 ▽‧(AxB) = 〥_i (AxB)_i
= 〥_i εijk A_j B_k
積法則 = εijk (〥_i A_j) B_k + εijk A_j (〥_i B_k)
換下標 = εijk (〥_i A_j) B_k + εjik A_i (〥_j B_k)
= εijk (〥_i A_j) B_k - εijk A_i (〥_j B_k)
= (▽xA)_k B_k - (▽xB)_k A_k
= (▽xA)‧B - (▽xB)‧A ■■ 得證
::式13:: 叉積的旋度
▽x(AxB) = A(▽‧B) - B(▽‧A) + (B‧▽)A - (A‧▽)B
記法是兩個叉積→εε相乘變兩項、微分積法則兩項變四項
然後死記第一項是A(▽‧B)，AB互換負的，A▽互換會變算子要放B前面，再AB換變負的
..這樣還是記不住XD
那就比照前面，定義算子的符號形式吧：
(B‧▽)A 的符號化:
▽=〥_i e_i , B = B_i e_i
B‧▽ = (B_i 〥_i) 它是個算子 它是個算子 它是個算子
不可互換 不可互換 不可互換
(B‧▽)A = (B‧▽)_i A_i 當成是grad
= (B_j 〥_j) A_i 想成是由B各成分替對應的偏微分算子"加成"再grad A
↑重點是下標配對，然後不可以隨便幫算子換位，除非經過積法則!!
於是要開始算了，首先這裡耍了一個技巧，如果直接展開尾巴會有一個基底向量e_k，
但他在後面的推演一直用不到，寫了式子又看起來很長，於是我就先將他收起來，方法
是先取▽x(AxB)的k分量:
[▽x(AxB)]_k = εijk 〥_i (AxB)_j
= εijk 〥_i (εjpq A_p B_q)
= (εijk εjpq) (〥_i A_p B_q)
為什麼ε就可以移來移去？
我: 因為他像是下標專屬的選擇器一樣的東西，對於不匹配的下標毫無作用，然後
愛因斯坦求和約定 已經讓整個式子對所有下標求和了－－
總之把ε分配到前面對求和不會有影響，該有的項不多也不少。
= (δkpδiq - δkqδip) [(〥_i A_p) B_q + (〥_i B_q) A_p]
= (〥_i A_k) B_i - (〥_i A_i) B_k +
(〥_i B_i) A_k - (〥_i B_k) A_i
[▽x(AxB)]_k = [(B‧▽)A]_k - (▽‧A)B_k + (▽‧B)A_k - [(A‧▽)B]_k
兩邊乘e_k (note: 隱台詞是還做了加總) 得
▽x(AxB) = A(▽‧B) - B(▽‧A) + (B‧▽)A - (A‧▽)B
注意到 (〥_i B_i) A_k 不是 (B‧▽)A_k 算子乘component沒意義
而是 [(B‧▽)A]_k －－ []裡是向量 －－ 的k分量
::式15:: 旋度的散度為零 ▽‧(▽xＶ) = 0
▽‧(▽xＶ) = ▽_i (▽xＶ)_i
= 〥_i (εijk 〥_j Ｖ_k)
已加總，微進去
= εijk 〥_i 〥_j Ｖ_k
可互換
= εijk 〥_j 〥_i Ｖ_k
= - εjik 〥_j 〥_i Ｖ_k 換下標 {j,i,k}->{i,j,k}
= - 原式
x = -x 故
= 0
::式16:: ▽‧(fＧ) = (▽f‧Ｇ) + f (▽‧Ｇ)
純量場f 與 向量場Ｇ 的乘積 取散度 -> 結果得一實數 這公式很好背，
就▽/‧/f/Ｇ四個符號，正好只有兩種合法的組合，其結果會是實數
→ →
▽f‧Ｇ 內積是實數 和 f、(▽‧Ｇ)兩實數相乘是實數，毫無煩惱^_^
證: ▽‧(fＧ) = 〥_i (fＧ)_i
= (〥_i f) Ｇ_i + f (〥_i Ｇ_i)
= ▽f_i Ｇ_i + f (▽‧Ｇ)
= (▽f‧Ｇ) + f (▽‧Ｇ)
::式17:: ▽x(fＧ) = (▽fxＧ) + f (▽xＧ)
一樣的道理，分配並確定是合法的組合，最後結果要是向量
證: [▽x(fＧ)]_k = εijk 〥_i (fＧ)_j
= εijk (〥_i f) Ｇ_j + εijk f 〥_i Ｇ_j
= εijk (▽f)_i Ｇ_j + εijk f 〥_i Ｇ_j
= [▽f x Ｇ]_k + f (▽ x Ｇ)_k
▽x(fＧ) = (▽fxＧ) + f (▽xＧ)
::式18:: 旋度的旋度 ▽x (▽xＶ) = ▽(▽‧Ｖ) - (▽‧▽)Ｖ
或 - ▽^2 Ｖ
點選中文發音: 旋度的旋度 等於 散度的梯度 減掉 Laplacian (二階的梯度)
其實也還好，兩個叉積會有兩項，這裡用不到積法則故不會變四項
證明:
▽x (▽xＶ) = εijk 〥_i (▽xＶ)_j e_k
= εijk 〥_i (εjpq 〥_p Ｖ_q) e_k
= (δkpδiq - δkqδip) 〥_i 〥_p Ｖ_q e_k
= 〥_k (〥_q Ｖ_q) e_k - 〥_p 〥_p Ｖ_k e_k
= 〥_k ( ▽‧Ｖ ) e_k - ▽^2 Ｖ
= ▽(▽‧Ｖ) - ▽^2 Ｖ
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: 以上證明出自YOUTUBE 教學影片
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: 共有 21 部影片 這裡是總整理兼中譯
http://www.youtube.com/watch?v=N1YBgU-xu6A
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※ 轉錄者: jurian0101 (140.112.213.88), 時間: 11/02/2012 15:47:40
※ 編輯: jurian0101 來自: 140.112.213.88 (11/02 15:48)