推 sophigo :好猛 11/03 21:08
※ 引述《vejita (燕楓生)》之銘言：
: 以下是古時候占卜的一種手法
: 取49支蓍來操作
: 首先，先將49支蓍隨機分成左右兩堆
: 接下來再將右邊那堆取出一支
: 此時再將左右兩堆的數量以四除之
: 左堆若餘一則取出一支、餘二取出二支、餘三取出三支
: 無餘數則取出四支，而右堆亦同
: 最後再將左右兩堆合起來
: 此為一變
: 一變之後，再將此步驟重新操作
: 剩下的數量再重新分成左右兩堆
: 右堆再取出一支
: 之後再將左右兩堆數量以四除之
: 分別取出餘數的數量(無餘數則取出4支)
: 最後再將左右兩堆合併
: 此為二變也
: 如此步驟再反覆操作一次
: 進行到三變
: 已知進行到三變時
: 剩下的數量總合必為36、32、28、24
: 請問這四種結果的機率各為多少？
好有趣的題目，小弟問一下，這提出處是哪裡啊XDD
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如果原本有49支籤，分成兩堆，會有下列情況
4a 4b+1
4a+1 4b
4a+2 4b+3
4a+3 4b+2
注意，因為分成兩堆，右堆有可能是2~48 (0、1和49不行)，
0、49是因為，這樣就不是兩堆
1是因為，這樣右堆剩一支，取出一支後就是0支，
這樣無法拿出4支使其成為4的倍數
所以情況一的機率皆為11/47
所以情況二、三、四的機率皆為12/47
右邊那堆取出一支，變成
4a 4b
4a+1 4b-1
4a+2 4b+2
4a+3 4b+1
兩邊都取若干支使其成為4的倍數，所以包含剛剛取那支，變成
4a-4 4b-4 ------->共取9支，機率為11/47
4a 4b-4 ------->共取5支，機率為12/47
4a 4b ------->共取5支，機率為12/47
4a 4b ------->共取5支，機率為12/47
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接下來討論如果全部都是4的倍數的情況
如果原本有4K支籤，分成兩堆，會有下列情況
4a 4b
4a+1 4b+3
4a+2 4b+2
4a+3 4b+1
注意，因為分成兩堆，右堆有可能是2~(4K-1) (同上，0、1和4K不行)，
所以第一、四機率為(K-1)/(4K-2)
所以第二、三種機率都是K/(4K-2)
右邊那堆取出一支，變成
4a 4b-1
4a+1 4b+2
4a+2 4b+1
4a+3 4b
兩邊都取若干支使其成為4的倍數，所以包含剛剛取那支，變成
4a-4 4b-4 ------->共取8支，機率為(K-1)/(4K-2)
4a 4b ------->共取4支，機率為K/(4K-2)
4a 4b ------->共取4支，機率為K/(4K-2)
4a 4b-4 ------->共取8支，機率為(K-1)/(4K-2)
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終於來到收割的時候
49->44機率為11/47
49->40機率為36/47
接著取出都是4的倍數
有可能
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| 原本剩44支 | 原本剩40支
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連續2次8 | [最後剩28支](43/87)*(35/71) | [最後剩24支](39/79)*(31/63)
連續2次4 | [最後剩36支](44/87)*(40/79) | [最後剩32支](40/79)*(36/71)
或1次4 + 1次8 | [最後剩32支](44/87)*(39/79) | [最後剩28支](40/79)*(35/71)
或1次8 + 1次4 | [最後剩32支](43/87)*(36/71) | [最後剩28支](39/79)*(32/63)
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所以
最後剩36支為 11/47 * 44/87 * 40/79 = 約6%
最後剩32支為 11/47 * 43/87 * 36/71
+ 11/47 * 44/87 * 39/79
+ 36/47 * 40/79 * 36/71 = 約31%
最後剩28支為 11/47 * 43/87 * 35/71
+ 36/47 * 40/79 * 35/71
+ 36/47 * 39/79 * 32/63 = 約44%
最後剩24支為 36/47 * 39/79 * 31/63 = 約19%
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