Re: [中學] 極限

[piety4u ()]

※ 引述《whereian (飛)》之銘言：
:     有兩題麻煩好心人幫我解答一下，謝謝
:              n
:     (1) lim  √n = ？ 及如何證明
:        n→∞


    n
先令√n = 1 + h
                                         2                   2
                      n           n(n-1)h             n(n-1)h
兩邊n次方，得到n=(1+h) = 1 + nh +---------- + .... > ---------
                                     2                   2
                2
         n(n-1)h
得到n > ----------
            2
                     2      2
兩邊除以n再經由整理----- > h
                    n-1


得到h < [2/(n-1)]^(1/2)

        n
所以lim √n =  lim  (1 + h) =   lim  1 + [2/(n-1)]^(1/2) = 1
     n→∞    n→∞            n→∞

因為此題是單純的極限，

一般在學習微積分過程是先學到極限再學到log，

所以在此提供一個不用log的方法，希望對原問有幫助^.^

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◆ From: 140.112.252.176
推 gj942l41l4  :推一下
推 yuyumagic424:log高中就學過啦
推 y15973      :所以說了學微積分時，學高微時不也全部重來
→ y15973      :這是Courant and John的標準作法
推 whereian    :感謝！這作法我實在想不出來
推 whereian    :承蒙分享，讓我解開了疑問，謝謝
推 gj942l41l4  :取log還會碰到L'Hospital   應該是還沒學到
→ yhliu       :嚴格來說這樣寫是不對的. n^{1/n} 隨著 n 在變, 哪能
→ yhliu       :令它等於一個常數 1+h?
推 gj942l41l4  :h也跟著n在變  並不是一個常數吧
推 thisday     :所以要寫成n^{1/n} = 1 + h(n)  這樣!
→ sneak       : 所以要寫成n^{1/n https://noxiv.com
→ sneak       : //noxiv.com https://daxiv.com
→ sneak       : 所以要寫成n^{1/n https://noxiv.com