[線代] inverse of linear transformation

[ssss50201 (ssss)]

有兩個關於線代的問題想請教板上的諸位高手:)

1.
linear transformation T is invertible(nonsingular)
if and only if T is 1-1&onto.

那這麼說，inverse-T也會是1-1&onto嗎？

我覺得反過來想inverse-T is also invertible, 所以
inverse-T也會是1-1&onto，但是不很確定(因為手邊資料沒有相關的性質證明甚麼的），
想說來這邊確認一下。

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2.
一題關於方程組和維度的問題:

In a homogeneous system of 5 linear equations in 7 unknowns,
the rank of the coefficient matrix is 4. What is the maximum number of
independent solution vector?

Solution:
The dimension of the solution space of a matrix always is given by
the number of unknowns less the rank of the matrix, therefore, 7-4=3.

我解讀這個解法的方式是，從linear transformation角度解釋，
從其對應的矩陣(coefficient matrix is 5 by 7)判斷，T: V(七維)->(W)五維。
solution space of a homogeneous system相當於是kernel space,
用nullity(T)+rank(T)=dim(V),
則nullity(T)=dim(V)-rank(T)=7-3.


我自己在看解答前的想法是：
5 rows, 7 columns.Rank=4,
所以做列運算到最後，有四列非零而且independent,
表示七個未知數中，有三個未知數是用來表達解的。
比如x1, x2, x3, x4 can be expressed in terms of x5, x6, x7
因此 x5, x6, x7是三個free variables, 因此maximum number of independent solution vector is 3.

但是我對自己的想法有個地方不是很有信心，因為我不知道
如果一個矩陣rank=4, 那是不是不管是做列運算或是行運算，
都可以得到4個獨立的列或是4個獨立的行。

不知道我解釋解答的解法對不對？還有我自己最開始的想法對不對？

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這是第一次自學線代 (因為想考的研究所要考線代)
但有些東西卻不是很確定，不好意思麻煩大家幫忙了
謝謝~~
※ 編輯: ssss50201       來自: 108.3.154.49         (11/04 06:05)
推 lenux       :列秩是列空間基底的維度 行秩則是行空間基底維度
→ lenux       :兩者必相等 才會有RANK 這個定義
推 lenux       :T:V→W, V is 1 to 1 iff ker(T)=0,
→ lenux       :dimV=dim(Ker)+dim(Range) 前提是要dimV=dimW才會同
→ lenux       :時在Nonsingular的狀況下成立1 to 1 & onto
→ lenux       :因為dim(Ker)=0就滿足dim(Range)=dimV=onto