[代數] 找Abelian group of order n

[ssss50201 (ssss)]

這是關於代數的

有一類常見題目長得是：
Up to isomorphism, how many Abelian Group are there of order 36?

類似這樣的題目的解法是把36因數分解
36=2^2*3^2
則所有nonisomorphic的可能性是:
2,2,3,3
2,2,9
4,3,3
4,9
所以答案是There are 4 Abelian Group are there of order 36

同樣的方式用來解of order 600, 360我都得到正確的答案。


但是在一切看來很順利的時候，解這類題目絕對沒問題的時候，
在做某份考卷的練習題時踢到鐵板...然後解答讓我很困惑。

Q: The number, up to isomorphism, of Abelian Group of order 40.
答案是7!!!

按照上面我舉的例子的解法，40=2^3*5
所以所有nonisomorphic的可能性是:
2,2,2,5
2,4,5
8,5
總共是3種

而詳解是這麼寫的:
non-isomorphic abelian groups of the smae order n, are effectively
the direct products Z_n1 x Z_n2 x ...... x Z_nk where n1 x n2 x ....x nk=n,
and each ni is a divisor of n.
In this case, the products yielding 40 are
40,
10x4,
8x5,
20x2,
10x2x2,
5x4x2,
5x2x2x2,
所以七種。

****是因為兩個問題在問的是不同的東西 造成不同的counting方式嗎？****

但一方面我又覺得詳解寫得怪怪的。從兩個地方看，
一是Fundamental Thm of finitely genereated abelian groups說的是
每一個ni會是一個質因數的次方，
但詳解列出來的七種中, 10x4, 20x2, 10x2x2裡的10,20都不是質數的次方，
而且8x5應該和40是同一種，因為gcd(8,5)=1, 有一個定理說這兩個會是同構

二是從invariant factors來看，
2x2x2x5和2x2x10是同構
2x4x5  和2x20  是同構
8x5    和40    是同構
怎麼數都不會有七，但選項裡面沒有3也沒有6 (這是一題選擇題)

因為練習題的來源來自不一樣的書，在我遇到of order 40之前，
不管看到哪解法都是一致的，但看到of order 40這題的詳解，整個困惑!!

再次麻煩大家了，Thanks a lot!!

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◆ From: 108.3.154.49
※ 編輯: ssss50201       來自: 108.3.154.49         (11/04 07:47)
推 willydp     :詳解錯了阿, 20x2,5x4x2,10x4根本isomorphic
→ willydp     :這個structure theorem有兩種形式,
→ willydp     :一種是分解成 Z_{d_1} x ... x Z_{d_k}
→ willydp     :使得d_1 | ... | d_k, 再加上free part
→ willydp     :另一種是Z_{n_1} x ... x Z_{n_k}
→ willydp     :每一個都是prime power
→ willydp     :第一種分解是唯一, 第二種如果排好序之後也是唯一
推 TassTW      :詳解錯了