※ 引述《terry617 (魔數師)》之銘言：
: 有一個圓形的操場~
: 甲跑一圈需要45分~
: 現在甲乙兩人同時同地同方向跑~~
: 甲乙第一次相遇後~乙再跑12分會回到原出發點~
: 請問乙跑一圈需時多少?
設乙跑一圈需要x分鐘 (x>0)
(由題目可以看出 x>12才合理 不過x≦12 也可說得過去)
可得:
(1)乙比甲快:(0<x<45)
1/(1/x-1/45)+12=kx, 其中k為正整數
(2)甲比乙快:(45<x)
1/(1/45-1/x)+12=kx, 其中k為正整數
解(1):
kx^2+(33-45k)x+540=0
判別式≧0:
(33-45k)^2-4*k*540≧0
225k^2-570k+121≧0
得:k≧(19+4√15)/15=2.29...
或 k≦(19-4√15)/15=0.23...
因為k為正整數
所以k≧3
因此 x=3(-11+15k-√(225k^2-570k+121))/(2k)=a_k
或3(-11+15k+√(225k^2-570k+121))/(2k)=b_k
a_k≦b_k
f(x)=kx^2+(33-45k)x+540=k(x-a_k)(x-b_k)
f(45)=2025>0
f(12)=936-396k≦936-396*3=-252<0 (因為k≧3)
f(0)=540>0
所以0< a_k <12< b_k < 45
所以只要k≧3
令x=b_k (必有 12< b_k < 45) 即為所求
若不介意 0<x<12 取 x=a_k 亦可!
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解(2):
kx^2-(57+45k)x+540=0
判別式≧0:
(57+45k)^2-4*k*540≧0
9(225k^2+330k+361)≧0
顯然k為正整數時,判別式必然≧0
x=3(19+15k-√(225k^2+330k+361))/(2k)=c_k
或3(19+15k+√(225k^2+330k+361))/(2k)=d_k
c_k≦d_k
g(x)=kx^2-(57+45k)x+540=k(x-c_k)(x-d_k)
g(0)=540>0
g(45)=-2025<0
g(100)=-5160+5500k≧-5160+5500=340>0
所以0< c_k <45< d_k <100
取x=d_k 即為所求! (c_k 不合!)
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