[分析] 請教看過Apostol與Zygmund測度的先進

[znmkhxrw (QQ)]

目前學校用Zygmund教測度論、Lebesque integral

可是Zygmund這本沒有證明Lebesque integral的change of variables的章節

而Apostol的高微後面也有測度論、Lebesque integrable等等

(他有Lebesque integral的change of variables)

可是卻是跟Zygmund貌似不同

(當然，很多東西很像，像Apostol的upper function就像是Zygmund的simple function)

想請問Apostol用裡面的meausrable set(他是用特徵函數的積分定義)

與Lebesque integrable(他是用upper functions定義)

這些定義與Zymund的定義等價嗎???

(Apostol定義的順序：

 1.upper functions → Lebesque integrable functions

 2.upper functions → measurable functions → measurable set(S)

 3.接著考慮S的特徵函數X，如果X_S是Lebesque integrable，則X_S在R^n上的黎曼積分

   就定義成他的測度值，而Apostole的Lebesque integrable也是有限值

   如果X_S沒有Lebesque integrable則定義測度值是無限大
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By the way, 之前大二修高微時最後有講到Jordan measurable set與measure zero set

Zygmund有measurable set與measure zero set

所以當時就猜Jordan measurable set就是Zygmund的measurable set

後來看到一件事情：measure zero set不一定Jordan measurable

可是我們知道在Zygmund的定義中 measure zero set就是measurable

所以顯然Jordan measurable set與Zygmund的measurable set是不一樣的

(大二高微定義的measure zero set應該與Zygmund的等價 之前好像有證過)

所以至此，我們有三個measurable set(S)的定義

1.Zygmund：for all a>0, there exists open G covering S, s.t.│G\S│e < a

2.Apostol：X_S is measurable functions(此measurable function是by Apostol定義)

3.Jordan measurable set：X_S is Riemann integrable on R^n


感謝解惑...內文有點長...拍謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.171.10.123
※ 編輯: znmkhxrw        來自: 1.171.10.123         (11/07 23:45)
推 mickeyjan   :記得以前爬文，在高微的書評中，對Apostol的評價之一
→ mickeyjan   :就是在measure部分的切入點和一般實分析的不太一樣
→ znmkhxrw    :他整個反方向訂讓我有點不舒服XDD
推 physicist512:讀zygmund比較OK吧!!發展都很直觀的出發...
推 herstein    :看Zygmund吧...
→ chy1010     :差別的地方我想應該就是 simple function 的定義不同
→ chy1010     :但是 generate 出來的 measurable function 一樣
→ chy1010     :Jordan content 我記得好像是可以用有限個方塊逼近
推 THEJOY      :喬丹可測就如樓上所說，可看Folland的實變第二章
會想問這個主要是因為：(下面講的都是R^n)

我大二高微課本是用Marsden，它的變數變換定理是基於黎曼積分與喬丹可測

而我學了Zygmund後 發現可測跟喬丹可測不是等價的...

所以我又去翻了Apostol，它在講黎曼積分時也確實是用喬丹可測去做的

可是它沒有講黎曼積分的變數變換定理，確有講Lebesgue積分的變數變換定理

可是他的Lebesgue積分所用到的可測觀念與定義，跟Zygmund差很多

(或許等價吧！所以才會有這篇文...)

所以我去翻Zygmund，發現它沒寫變數變換定理= =

上網找的時候，隨便找都有，可是我找到的幾篇根本沒說他是用什麼測度定義...


目前我是猜

1.多維黎曼積分要在Jordan可測下討論，不要在Lebesgue可測下討論

2.Apostol的測度論與可測函數那些東西，與Zygmund等價，所以用Zygmund的定義

  我仍然有Apostol寫的Lebesgue變數變換定理


最後是我找最久的東西...我怎麼找都只有一維空間的黎曼積分與Lebesgue積分的關係

也就是說，一個有界函數在一個閉區間上黎曼可積則Lebesgue可積 且值一樣

有沒有R^n空間的!!??  聽老師講說真正在算的出來  大部分都是黎曼積分

所以如果有條件描述在R^n的子集上黎曼積分與Lebesgue積分的關係 那就很完美了

意思是： if S是R^n的子集, f：S→R, some conditions holds

         then f在S上的黎曼積分存在且等於Lebesgue積分

           or f在S上的Lebesgue積分存在且等於黎曼積分


感謝...@@"
※ 編輯: znmkhxrw        來自: 1.171.13.40          (11/08 13:24)
推 chy1010     :黎曼可積是 continuous a.e. 不是 Lebesgue 可積吧..
※ 編輯: znmkhxrw        來自: 140.114.34.252       (11/08 16:01)
→ znmkhxrw    :拍謝我打太快了XD 修正了
推 doubleN     :n維跟一維是一樣的 證明可以看 Frank Jones 的書
→ doubleN     :另 Lebesgue積分的變數變換 Rudin Folland 都有
→ znmkhxrw    :喔喔!! 好~謝謝!
→ sneak       : 拍謝我打太快了XD 修 https://muxiv.com
→ sneak       : 記得以前爬文，在高微的 https://daxiv.com
→ sneak       : 另 Lebesgue積 https://noxiv.com
→ sneak       : //muxiv.com https://noxiv.com