※ 引述《e33554431 (飲水思源~)》之銘言：
: 如題,請問如何證這件事??
: 想了很久...目前試了coth泰勒展開,有正負相間,放棄
: 再試微分,發現是csch^2 - 1/x^2,不能確定他恆負,放棄
: 用wolfram跑,1+1/x-cothx確實是遞減到0的
: 而且csch^2 - 1/x^2是恆負
: 請問有什麼特別估計法嗎??
: 感謝!
若要証明:
(csch(x))^2-1/(x^2)<0, for x>0
也可仿照我上一篇的作法
(csch(x))^2=4/(exp(2x)+exp(-2x)-2)
exp(t)+exp(-t)=2(1+t^2/(2!)+t^4/(4!)+...)
>2(1+t^2/(2!))=2+t^2, for t>0
exp(2x)+exp(-2x)-2>(2x)^2=4x^2 ,for x>0
(csch(x))^2<4/(4x^2)=1/(x^2) ,for x>0
(csch(x))^2-1/(x^2)<0, for x>0
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limit (1+1/x-coth(x))=0
x->∞
且 (1+1/x-coth(x))'=(csch(x))^2-1/(x^2)<0, for x>0
所以 1+1/x-coth(x)>0 ,for x>0
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