Re: [中學] 巴斯卡三角形有辦法解這題嗎?

[mack (腦海裡依然記得妳)]

※ 引述《abbybao (小寶)》之銘言：
: 3C(3,3)+4C(4,3)+5C(5,3)+.....+16C(16,3)=?
: ANS:31892
: 這題看起來有點像巴斯卡三角形,但不確定能不能解這題
: 或者有沒有更好的解法可解這題,感恩^^
: PS: 巴斯卡三角形 C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)
  nC(n,3)
= n*[n*(n-1)*(n-2)]/[3*2*1]
= {4*[(n+1)*n*(n-1)*(n-2)]/[4*3*2*1]} * [n/(n+1)]
= {4*[(n+1)*n*(n-1)*(n-2)]/[4*3*2*1]} * [1-1/(n+1)]
= 4*[(n+1)*n*(n-1)*(n-2)]/[4*3*2*1]-4*[(n+1)*n*(n-1)*(n-2)]/[4*3*2*1]*[1/(n+1)]
= 4*C(n+1,4) - [n*(n-1)*(n-2)]/[3*2*1]
= 4C(n+1,4) - C(n,3)

  3C(3,3)+4C(4,3)+5C(5,3)+.....+16C(16,3)
  16
= Σ kC(k,3)
  k=3
  16
= Σ [4C(k+1,4) - C(k,3)]
  k=3
   16            16
= 4Σ C(k+1,4) - Σ C(k,3)
   k=3           k=3
= 4C(18,5) - C(17,4)


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