推 cometic :good! 11/09 21:41
※ 引述《cometic ( )》之銘言：
: ※ 引述《sato186 (台灣福山雅治)》之銘言：
: : 中央統計 95 考古題
: : Let A, B be real matrice of size p ×q and q ×p,
: : respectively. Show that
: : det( I + AB ) = det( I + BA ).
: : p q
: : 感謝!!!!
: : ─
: : 油電雙漲鬼島灣 打工渡假夯 沒有法律的保障 只有富少耍流氓
: : 站在無塵的機台前 一遍遍輪班 也是黃昏的產業上 有著年終兩月半
: : 人力銀行狂壓榨將我薪資凍漲 踩著薄暮 走向餘暉 22K的鬼島灣
: : 一個政策是笑語一串 消磨許多時光 直到內鬥吞沒我倆在未來的希望
: : 鬼島灣 鬼島灣 外資的鬼島灣 有我許多的公職幻想
: : 加班 血汗 外勞 人才荒 還有一位慣老闆 ～外婆的鬼島灣 By KurakiMaki～
: p q
: p [Ip A] X=[Ip A]
: q [-B Iq] [-B Iq]
: p q
: p [Ip 0] Y=[Ip 0]
: q [B Iq] [B Iq]
: XY=[Ip+AB A] YX=[Ip A]
: [ 0 Iq] [0 BA+Iq]
: det(Ip+AB)=det(XY)=det(YX)=det(Iq+BA)
之前看過很類似的證明
是證明AB和BA有幾乎相同的特徵多項式用到的
[0 0][I A] = [0 0 ] = C
[B 0][0 I] [B BA]
[I A][0 0] = [AB 0] = D
[0 I][B 0] [B 0]
所以C跟D similar 也就是 C跟D的特徵多項式一樣
所以
x^q*det(x*Ip-AB)=x^p*det(x*Iq-BA)
帶入x=-1得到
(-1)^(q+p)*det(Ip+AB)=(-1)^(q+p)*det(Iq+BA)
故證det(Ip+AB)=det(Iq+BA)
個人是覺得從比較general的定理x^q*det(x*Ip-AB)=x^p*det(x*Iq-BA)著手
比較能夠瞭解這問題的本質是怎樣
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正妹也只不過是一組物質波方程的特解罷了( ￣ c￣)y▂ξ
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※ 編輯: profyang 來自: 140.112.248.221 (11/09 04:44)