推 znmkhxrw :謝嚕!! 11/11 12:35
我把原PO的問題重寫ㄧ遍。
假設 (M,g)是一個Riemannian manifold。
取ㄧ組orthonormal frame {e_i}，
是否[e_i,e_j]=0 for all i,j?
答案是no.
M=R^2-{(0,y)},則M是R^2的open submanifold (把y軸挖掉)
取metric ds^2= dx^2+( dy^2/x^2)
e_1 =d/dx, e_2= x d/dy (讓我暫時用d/d來表示偏微分)
{e_1,e_2}是o.n frame field in Γ(M,TM)
給定ㄧ個光滑函數f:M-> R,
e_1e_2 f =df/dy + x d^2f/dxdy
e_2e_1 f= xd^2f/dxdy
[e_1,e_2]f=df/dy
=>[e_1,e_2]=d/dy不為零
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 用M^2來看比較方便
: 目前知道 [Xi,Xj] = 0 , i,j=1 or 2
: 如果現在取一組orthonormal basis {e1,e2}
: 是否也會有[ei,ej] = 0 , i,j=1 or 2 ???
: 目前我寫出
: e1 = a11 * X1 + a12 * X2
: e2 = a21 * X1 + a22 * X2
: 然後算出 [e1,e2] = (a11 * X1(a21) * X1) - (a21 * X1(a11) * X1)
: + (a11 * X1(a22) * X2) - (a22 * X2(a11) * X1)
: + (a12 * X2(a21) * X1) - (a21 * X1(a12) * X2)
: + (a12 * X2(a22) * X2) - (a22 * X2(a12) * X2)
: [g11 g12] [a11]
: 然後由<e1,e1> = 1 = [a11 a12] [ ] [ ]
: [g21 g22] [a12]
: 之後<e1,e2> = 0 , <e2,e2> = 1 又得出兩條式子
: 還是不知道為何[e1,e2]=0
: 還是就算orthonormal basis ,原本就不一定會等於0了??
: 謝謝
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