※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: x^11除以 x^3+x^2 + x + 1 的餘式
: 解答說
: x^11 =( x^4 -1 ) q(x) +r(x)
: 4
: 兩邊同時令x = 1 代入 左邊就會得到x^3
: 我不太懂 這是什麼觀念 或是什麼理論保證
: 這樣把左邊次數降下來 再除以 x^3+x^2 + x + 1
: -(x^2 + x + 1)就是餘式了
: 這到底是為什麼呢? 這是哪一招? 似懂又非懂
: 謝謝大家回答我的問題
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為了說明令x^4=1的概念 我在這簡化題目為 x^11除以 x^4-1 的餘式
首先根據除法原理 x^11 = (x^4-1)g(x) + r(x)
根據餘式定理 令除式 x^4-1=0 可得相異4根(在複數架構下): α,β,γ,δ
代入 x^11 = (x^4-1)g(x) + r(x)
--> α^11 = (α^4-1)g(α) + r(α)
--> α^11 = 0 + r(α)
同時 利用α^4=1的性質 可以化簡上式為
--> α^3 = r(α)
同理 仿照上述 依序可得 β^3 = r(β)
γ^3 = r(γ)
δ^3 = r(δ)
也就是說 存在四個相異的數 使得 x^3=r(x)
又因為等號兩邊的多項式 最高次數都不超過3
所以根據 "多項式相等的概念"
可推得 x^3=r(x)
所以就結果論來看
就好像是一開始直接令 x^4=1 代入一樣
因此解答才會這樣簡略的寫
希望這回應有幫助到你
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