Re: [線代] 急問題(附500P)

[herstein (翔爸)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 做問題時需要一件事情：這是我猜的
: A是n(>=2)階實數對稱方陣，trace(A)=0
: 則trace(A^2) >= [n/(n-1)]│A│ , │A│=sup{│Av│：│v│=1, v€R^n}
: 這件事是對的嗎?? 證">="或是"="都可，當然等號成立是最好啦
: 目前我證出n=2是對的 而且是相等
: 想請問更高維度的case
: 證出or舉反例的500P奉上
: 感謝!!!
: ------------------
: 以下是我目前做到的：(A'是A的轉置)
: A'A = A^2 , A^2有n個都是非負的eigenvalue, e1>=...>=en>=0
: │A│=e1^0.5
: 而trace(A^2) = e1+...+en
: 然後用算幾可以湊出 trace(A^2) >= n * (e1*...*en)^(1/(2n))
: 可是都沒用到trace(A)=0

A=[1/2,0; 0, -1/2]

則tr(A)=0

|A|=1/2

tr(A^2)=1/4+1/4=1/2

n=2=> n/(n-1)=2

所以n/(n-1) |A|=1

tr(A^2)=1/2> n/(n-1)|A|=1?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 132.64.27.182
推 mack        :真快
→ herstein    :他說 n=2可以得到不等式，我很懷疑XD
→ herstein    :我就把A的eigenvalue列出來之後發現根本就不會對
推 znmkhxrw    :SOR 我題目給錯了 │A│要改成│A│^2
如果改成|A|^2就簡單了

→ znmkhxrw    :不過我證出來了~~500P寄囉 謝謝
→ herstein    :By Cauchy-Schwarz
※ 編輯: herstein        來自: 132.64.27.182        (11/14 20:23)

由於A是對秤矩陣所以可對角化，假設(t_1,...,t_n)是A的特徵值。
於是tr(A)=t_1+...+t_n=0。不仿假設|t_1|=|A|。利用Cauchy-Schwartz,

(t_2^2+...+t_n^2)(1+...+1)≧(t_2+...+t_n)^2=t_1^2=|A|^2

所以t_2^2+...+t_n^2≧|A|^2/(n-1)

兩邊同加上t_1^2=|A|^2可推得

t_1^2+...+t_n^2≧n/(n-1)  |A|^2.
※ 編輯: herstein        來自: 132.64.27.182        (11/14 20:27)
推 znmkhxrw    :對!! 我也是用那個  只是不知道要哪項跟哪項湊
→ znmkhxrw    :因為分母是n-1 後來我捨棄掉a1^2 就出來了= =