Re: [機統] 順序統計量一問

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《a81288653 (Bow)》之銘言：
: 假設目前有5個隨機變數X1,X2,X3,X4,X5,他們是彼此獨立但不同分佈
: 也就是說這些隨機變數有著不同的PDF以及CDF
: 並且用X_r來表示第r個順序統計量(隨機變數中第r小的,即r=1時是min,r=5時是max)
: 請問若要求Pr{X_r = X1}的話要如何去列式子呢? 該從哪個角度下手
: 其中r = 2,3,4 是我有興趣的
: 謝謝大家~

設有 X1,...,Xn, n 個相互獨立連續型隨機變數, Xi 之
p.d.f. 為 f_i(x).

設 Y1<...<Yn 為其順序統計量.


問: P[Yr = Xj]. (r, j 為給定的).


沒有簡單公式, 只能慢慢算.

事件 [Yr=Xj] 表示:
  有 r-1 個 Xi 比 Xj 小, 有 n-r 個 Xi 比 Xj 大.

因此, 總共有 C(n-1,r-1) 種組合.
令這些組合的集合是 S. 則

  P[Yr=Xj]

    = Σ P[Xi(1)<Xj,...Xi(r-1)<Xj,Xi(r+1)>Xj,...,Xi(n)>Xj]
       S

{i(1),...,i(r-1)},{i(r+1),...,i(n)} 是 除 Xj 以外之 Xi 分成
兩組的隨機變數註標.


例如 n=5,

P[Y2=X1] = P[X2<X1,X1<X3,X1<X4,X1<X5]+P[X3<X1,X1<X2,X1<X4,X1<X5]
          +P[X4<X1,X1<X2,X1<X3,X1<X5]+P[X5<X1,X1<X2,X1<X3,X1<X4]

P[Y3=X1] = P[X2<X1,X3<X1,X1<X4,X1<X5]+...
                +...+ P[X4<X1,X5<X1,X1<X2,X1<X3] (總共6項)


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