Re: [微積] Cauahy convergence criterion

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《rebe212296 (綠豆冰)》之銘言：
: The sequence {Zn}  is convergent
: iff.
: given any ε>0,
: there exists an integer N=N(ε)>0 such that |Zm-Zn|<ε for all m,n>N
: 以上是定理敘述, 由左到右的證明我OK, 但是由右到左的證明我把課本上的
: 最後一部分證明改了一點，不知道有沒有寫錯, 請問有沒有好心人願意幫我看
: 前半段和原始證明一樣
: Proof:
: Conversely, Suppose the seq. Zn satisfies the Cauchy convergence criterion.
: Choosing ε=1, there exists an integer N(1)>0 such that |Zn-Zmo|<1
: for all mo>N(1).
: Then |Zn|=|Zn-Zmo+Zmo|≦|Zn-Zmo|+|Zmo|<1+|Zmo|
: Let M=max{|Z1|, |Z2|,..,|Zmo|,1+|Zmo|}
: Then |Zn|≦M.
: Thus, {Zn} is a bounded seq..
: By the Bolzano-Weierstrass Thm, {Zn} has at least one limit point,
: 從這裡開始, 我要證明{Zn}只有唯一一個極限點

你的{Zn}是數列還是集合??
因為B-W定理是說有界數列必存在一收斂子列
可是你課本卻是寫 {Zn} has at least one limit point
這很像是考慮一個集合S={Zn} 說他至少有一個極限點(集合極限點的定義)
我是沒看過集合版本的B-W定理拉

: Let α and β are two limit points of two subseq.{Zni}, {Zmj} of {Zn}
: such that lim Zni=α lim Zmj=β.
: Then for any ε>0 there exists an integer N(ε/3)>0 such that
: |α-β|=|α-Zni+Zni+Zmj-β-Zmj|≦|α-Zni|+|Zni-Zmj|+|Zmj-β|<ε/3+ε/3+ε/3=ε.
: we have α=β.

: 接著我要證明如果一個數列只有一個極限點, 那此數列為收斂數列.

看到你這句我70%確定你是把數列看成一個集合了...
那你極限點的定義是什麼??
因為像是a_n = 1,-1,-1,-1...... 收斂到-1
        b_n = 1,-1,-1,....     不收斂
這兩個看成集合的形式都是{1,-1}
如果你的極限點是訂成集合的定義 則這個集合沒有極限點
所以你的極限點定義應該不是針對寫成集合形式而訂的
而是如果L是a_n的極限點代表存在一串a_n的子列收斂到L

: Claim: If a convergent seq. has only one limit point
              ~~~~~~~~~~
              寫錯了?? 都收斂了當然所有子列都收斂到這個值
              何來"then the limit of the seq. exists."

: then the limit of the seq. exists.
: Proof:
: Let α be the limit point of {Zn}.
: Then for any ε>0 , |Zn-α|<ε, for all integers n.
: Thus, for any ε>0 , there is an integer N(ε)>0
: such that |Zn-α|<ε, for all n>N(ε).
: We have lim Zn=α, that is the seq. converges.
: 證明完畢

一般來講，實數有公設(有上(resp.下)界集合必存在最小上(resp.大下)界)
所以先證B-W定理：(證法參考下面)
1.任何一個數列一定存在一個單調子列
2.一個有界數列看成集合後，依據實數公設，存在最小上界與最大下界
  因此，如果從1.選到的是遞減的子列，可以證明他收斂到最大下界
  同樣的，如果1.選到的是遞增的子列，可以證明他收斂到最小上界
因此證出了B-W定理

再來要證你的converse
1.歌西列必有界
2.根據B-W定理，存在一收斂子列
3.利用此收斂子列與歌西列的條件，證出原數列收斂到該子列的收斂值


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.171.18.74
→ rebe212296  :抱歉 我最後的Claim寫錯了
→ rebe212296  :應該是If a seq. has only one limit point,
→ rebe212296  :then the limit of the seq. exists.
→ rebe212296  :for any ε>0 , |Zn-α|<ε, for all integers n.
                應該是for any ε>0 ,存在N_ε,使得|Zn-α|<ε, for all n>=N_ε
→ rebe212296  :這是極限點的定義
                講"極限"比較不會混淆 因為這就是數列極限的定義
推 rebe212296  :另外你說的B-W的證明 最後還用到了夾擠定理
                我是不會用到拉 看你自己
※ 編輯: znmkhxrw        來自: 1.171.18.74          (11/16 00:52)
→ rebe212296  :不好意思 這應該是高微的範圍 我標題打錯
→ rebe212296  :極限和極限點是不一樣的喔
             limit =/= limit point
※ 編輯: znmkhxrw        來自: 1.171.18.74          (11/16 01:03)
推 mathphysics :z大好強@@!
推 THEJOY      :ㄜ  Apostol的B-W就是用集合敘述的
→ znmkhxrw    :我看到了! 它集合有說無限多個點 所以等價吧
我剛剛看了一下，數列版本的B-W定理感覺比較強
因為從數列版本的可以推到集合版本的(P.S.)
可是集合版本的推不到數列版本的，因為像是a_n=1,-1,1,-1...
把a_n看成集合後只有{1,-1}，可是a_n確實有收斂子列


P.S.
Apostol P.54的集合版本B-W定理：
<如果S是R^n的有界集合，且S的元素有無限多個，則S的極限點非空集合>

pf：S元素無限多個，任挑一組每項不相等的數列a_n
    因為a_n有界，所以藉由數列版本的B-W定理，必存在一組收斂子列a_nk收斂到L
    因為a_n每項不相等，所以a_nk亦每項不相等，所以L是S的極限點


By the way,我之前講的步驟是證R^1的數列版本B-W定理,而R^n也是對的！
(上面的pf就是用R^n的數列版本B-W定理)
也就是說,R^n中的有界數列必含有收斂子列

證明：
1.a_k寫成(a1_k,a2_k,...,an_k)
  則對於每個i=1~n,ai_k是R^1的有界數列
2.藉由R^1的數列B-W定理，a1_k存在收斂子列a1_kj→L1€R^1
  再來考慮a2_kj,它是a2_k的子列,亦有界,所以存在收斂子列a2_kjj'→L2€R^1
  注意a1_kj已經收斂到L1了,a1_kjj'又是a1_kj的子列，所以a1_kjj'→L1€R^1
  接下來仿造一樣的步驟處理剩下的n-2條就可以了


※ 編輯: znmkhxrw        來自: 1.171.4.93           (11/16 16:48)
推 THEJOY      :a_n=(-1)^n這例子並沒有滿足集合版B-W的前題
→ THEJOY      :應該從image是無窮集的序列來論證才對
→ znmkhxrw    :喔喔我知道阿~所以我的意思是說a_n=(-1)^n無法用
→ znmkhxrw    :集合版的去證他有收斂子列
→ rebe212296  :感謝Z大的推論 我想補充一下 數列和集合還是有些不同
→ rebe212296  :數列可看成domain是正整數的函數 函數的定義是
→ rebe212296  :由Cartesian product 也是集合 但有附加條件
→ rebe212296  :可是數列版的B-W收斂子列只有一個 但集合版的B-W
→ rebe212296  :limit point 可以不只一個
推 super0949   :Z大正妹
→ sneak       : then the li https://muxiv.com
→ sneak       : 30講"極限"比較不會 https://daxiv.com
→ sneak       : 這是極限點的定義 https://noxiv.com
→ sneak       : limit point http://yofuk.com