Re: [幾何] 四面體不等式

[cometic ( )]

※ 引述《tzhau (生命中無法承受之輕)》之銘言：
: 設a,b,c,d,e,f為一個給定四面體的稜長，S為此四面體的表面積，試證
: S<=(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)(sqrt(3))/6
: 想了好久 希望有高手能給點提示 謝謝




                     D
                    ∕﹨╲
                   ∕  ﹨ ╲
                  ∕    ﹨╱C
                  A——— B




由海龍公式:

三角形三邊長為a,b,c:

s=(a+b+c)/2

 面積=(s(s-a)(s-b)(s-c))^(1/2)

     =(3)^(1/2) ((s/3)(s-a)(s-b)(s-c))^(1/2)

     (由算幾不等式:)

                   s/3+s-a+s-b+s-c
     ≦(3)^(1/2) (-----------------)^2
                          4

                    a+b+c
     = (3)^(1/2) (----------)^2
                      6
        (3)^(1/2)
     = ----------- (a+b+c)^2
           36

     (由柯西不等式:)

         (3)^(1/2)
     ≦ ----------- 3 (a^2+b^2+c^2)
            36

      (3)^(1/2)
     =--------- (a^2+b^2+c^2)---------------(*)
         12



因此表面積S=S_1+S_2+S_3+S_4

           (S_1,S_2,S_3,S_4 均用(*)替換)

             (3)^(1/2)
           ≦--------- (2(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2))
                12

             (3)^(1/2)
           ≦-------- (a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2)
                6

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◆ From: 140.114.34.121
※ 編輯: cometic         來自: 140.114.34.121       (11/16 02:37)
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