※ 引述《ej03xu3 (照る照る坊主)》之銘言：
: A^2 - B^2 + C^2 - D^2 = 0 ------------(1)
: AB + CD = 0 --------------------------(2)
: A^2 + B^2 + C^2 + D^2 = -2w(AD-BC) ---(3)
: 要解 A B C D w 五個未知數
: 可是我卻只有三個方程式
: 要怎麼解啊??
: 有答案:
: A = -D
: B = C
: w = 1
引理:
如果AB+CD=0且 B,D不全為0
則存在t 使得 A=tD且C=-tB
(證:
<1>若B≠0:
令t=-C/B
帶回AB+CD=0
AB+(-Bt)D=0
得A=tD
<2>若D≠0:
令t=A/D
帶回AB+CD=0
(tD)B+CD=0
得C=-tB
)
開始解(討論是否有實數解!):
A^2 - B^2 + C^2 - D^2 = 0 ------------(1)
AB + CD = 0 --------------------------(2)
A^2 + B^2 + C^2 + D^2 = -2w(AD-BC) ---(3)
(1)等價於:
A^2+C^2=B^2+D^2-----------------------(4)
<a>若B=D=0:
帶入(4):
A^2+C^2=0=B^2+D^2
得:
A=0=C
帶入(1)~(3)檢查:發現
A=B=C=D=0 ,w為任意實數 為一組解
<b>若B,D不全為0:
由引理:
可設A=tD,C=-tB
帶入(4):
t^2(B^2+D^2)=(B^2+D^2)
t^2=1
t=1或-1
(i)若t=1:
A=D,C=-B帶回(3):
2(D^2+B^2)=-2w(D^2+B^2)
w=-1
檢查發現:A=D,C=-B,w=-1 B,D不同時為0 為一組解
(ii)若t=-1:
A=-D,C=B帶回(3):
2(D^2+B^2)=-2w(-D^2-B^2)
w=1
檢查發現:A=-D,C=B,w=1 B,D不同時為0 為一組解
綜合<a>,<b>:所求的解為
(1) A=B=C=D=0 ,w為任意實數
(2) A=D,C=-B,w=-1 B,D不同時為0
(3) A=-D,C=B,w=1 B,D不同時為0
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