※ 引述《WallSt (華爾街)》之銘言：
: 這題我不知道如何積分，連起手都無頭緒
: S e^(-x) (sinx-cosx)dx 這樣怎積分??
: 希望版上大大指點迷津
: 謝謝
-x
法 1：LimSinE大講的方法，就猜中了 -e sinx + C
法 2：基本上也是一種猜法，不過是比較有系統的猜（誤）
-x
因為 sinx, cosx, e 這種東西都是微不死的，所以微分後積分後
該有的元素就是這些人。猜
-x -x -x
∫e (sinx - cosx) dx = A e sinx + B e cos x + C
兩邊微分
-x -x -x -x -x
e (sinx - cosx) = -A e sinx + A e cosx - B e cosx - Be sinx
{ - A - B = 1
{
{ A - B = - 1
=> A = -1
B = 0
ix
法 3：這也是比較tricky ˊ_>ˋa： e = cosx + isinx ...... Euler formula
-x -x ix -x ix
∫e (sinx - cosx) dx = Im[ ∫e e dx] - Re[ ∫e e dx]
Im 是取虛部，Re是取實部。
-x ix 1 -x ix 1 + i -x
∫e e dx = －－－ e e = - －－－－e (cosx + isinx)
i -1 2
-1 -x -1 -x
虛部是 －－e ( sinx + cosx )，實部是 －－ e ( cosx - sinx)
2 2
-x
兩個相減可得 - e sinx
當然還有積分常數要補。
法4：大一正規作法（炸）：分部積分
-x -x vvvvv微它 -x
∫e ( sinx - cosx ) dx = -e ( sinx - cosx ) + ∫e (sinx + cosx ) dx
^^^先積exp(-x)
-x -x -x
= -e ( sinx - cosx ) - e ( sinx + cosx) + ∫e ( cosx - sinx ) dx
^^^^^^^^^^^^^^第二次分部積分
-x -x
= -2 e sinx - ∫e (sinx - cosx ) dx
^^^^^^^^^^^^^^^^^原積分
-x -x
故得 2 ∫e (sinx - cosx ) dx = -2 e sinx
-x -x
所以 ∫e (sinx - cosx ) dx = -e sinx
補積分常數。
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