Re: [中學] 中山附中高一輔助教材

[Intercome (今天的我小帥)]

※ 引述《BePi (逼屁)》之銘言：
: x,y為實數
: x^2 + xy + y^2 = 3x + 3y +9
: 求 x^2 + y^2 的最大值與最小值
: Ans: 27(或是29我忘了) , 2

  首先由最小平方法做三次配方：
       y  2   3  2
  (x+ ---) + ---y - 3x - 3y = 9
       2      4
       y  2       y     3   2
  (x+ ---) -3(x+ ---) +---(y -2y) = 9
       2          2     4
       y     3  2   3      2       9     3
  (x+ --- - ---) + ---(y-1) = 9 + --- + --- = 12
       2     2      4              4     4

  再利用科西不等式可找得(x+y)之範圍：
        y     3  2    √3      2   2   1  2        y     3     y     1  2
  [(x+ --- - ---)  + (---(y-1)) ][1 +(---) ]≧(x+ --- - --- + --- - ---)
        2     2        2              √3          2     2     2     2
       4           2
  12×--- ≧(x+y-2) => -2≦x+y≦6
       3
                            2  2
  接下來針對條件找尋(x+y)與x +y 的關係：
       2
  (x+y) - xy = 3(x+y)+9
            2           令x+y=t       2
  xy = (x+y) -3(x+y)-9     =>   xy = t -3t-9
   2   2       2          2               2
  x + y = (x+y) - 2xy = -t +6t+18 = -(t-3) +27

  當t=x+y=3時，有最大值=27

  當t=x+y=-2時，有最小值=2

  其實這題就收錄在我的數學講義中^^ 居然真的考出來了

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◆ From: 124.9.6.2
→ Intercome   :剛剛看到居然是高一教材 那我用的方法好像不適合高一
推 whereian    :真厲害！
→ whereian    :這是哪來的題目阿？這要想出來真的有點難度吧....
推 ejialan     :用Lagrange multiplier好做一些 但範圍超更多XD
推 whereian    :高中會出現拉格朗日四個字，大概只有拉格朗日插值法
→ whereian    :是嗎？呵呵，我亂唬的，ㄎㄎ....
推 BePi        :學生問的時候我也超想用Lagrange的