推 mathcard :了!!終於看懂了!!第一題真是太神了!!! 11/19 17:16
→ mathcard :謝謝!! 11/19 17:16
※ 引述《mathcard (數卡)》之銘言：
: 101松山家商的題目
: 1.n為正整數，且為6的倍數，求C(n,0)+C(n,3)+......+C(n,n) Ans:1/3(2^n+2)
: 2.x為i，x不為0，求 p = x^3 - x^2 + x + 1/x - 1/x^2 + 1/x^3 Ans:p≧2 p≦-6
: 3.0≦x≦180，求y=tanx與y=cosx相交於(a,b)(c,d)時，a+c=180度 b+d=0度
: 這題好像只要證出一個，另一個也會證出，
: 只是就第一個想半天還是沒法子，所以請教大家了，謝謝!!
1.
考慮
n
(1+x)^n=ΣC(n,k)x^k
k=0
令w為 1+x+x^2=0的某根
必有1+w=-w^2, 1+w^2=-w, w^3-1=(w-1)(w^2+w+1)=0
(1+w)^n+(1+w^2)^n+(1+w^3)^n
n
=ΣC(n,k)(w^k+(w^2)^k+(w^3)^k)
k=0
n
=ΣC(n,k)(w^k+(w^k)^2+(w^k)^3)
k=0
(當k=3n+1時 w^k=w, w^k+(w^k)^2+(w^k)^3=w+w^2+w^3=w+w^2+1=0
k=3n+2時 w^k=w^2, w^k+(w^k)^2+(w^k)^3=w^2+w^4+w^6=w^2+w+1=0
k=3n時 w^k=1,w^k+(w^k)^2+(w^k)^3=1+1+1=3
(n為整數))
n/3
=ΣC(n,3k)3
k=0
另外
(1+w)^n+(1+w^2)^n+(1+w^3)^n=(-w^2)^n+(-w)^n+2^n
(n為2的倍數)
=(w^n)^2+w^n+ 2^n
(n為3的倍數)
=1+1+2^n=2+2^n
n/3
所求=ΣC(n,3k)=(2+2^n)/3
k=0
2.
題目應為:
x為實數, x≠0才對!
不是x=i
令y=x+1/x (由算幾不等式易知 |y|≧2)
p=(x^3+1/x^3)-(x^2+1/x^2)+(x+1/x)
=(y^3-3y)-(y^2-2)+y
=y^3-y^2-2y+2
微分 畫圖
觀察得: p≧(2^3-2^2-2*2+2)=2
或 p≦(-2)^3-(-2)^2-(-2)*2+2=-6
3.
題目中
應為 0度≦x≦180度 不是0≦x≦180
觀察 0度≦x≦180度 y=tan(x),y=cos(x)的交點:
令第一個為(x1,y1) 0度<x1<90度
第二個為(x2.y2) 90度<x2<180度
必有 y1=tan(x1)
y1=cos(x1)
觀察:
-y1=-tan(x1)=tan(180度-x1)
-y1=-cos(x1)=cos(180度-x1)
90度<180度-x1<180度
且(180度-x1,-y1)為上述方程組的解
所以(x2.y2)=(180度-x1,-y1)
x1+x2=180度,y1+y2=0度
所求a+c=180度, b+d=0度
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※ 編輯: cometic 來自: 140.114.34.121 (11/19 15:01)