推 cometic :好厲害! 還作出動畫! 讚!! 11/21 16:31
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 請問：
: 1.y=0
: 2.y=3^0.5 * x
: 3. (x-20)^2 + (y-15)^2 = 5^2 (圓心在(20,15)，半徑=5)
: 這三個圖形中分別有三個動點a,b,c
: 試求這三個點所形成的三角形的邊長和最小是多少?? and why??
: 我自己設三個參數...太恐怖了 感覺不是這麼做
: 可是觀察了圖形 沒什麼結論
: 謝謝幫忙
如果 c 點只有點的話那事情很簡單
就把 c 對兩條直線反射之後連起來 跟兩條直線的交點即為所求
但現在 c 點在圓上 所以必須要整個圓反射過去
對 1. 反射得圓心 (20, -15) 稱這圓 O' 其上 c 點的像叫 c'
對 2. 反射得圓心 (15√3/2-10, 15/2+10√3) 稱這圓 O" 其上 c 點的像叫 c"
又我們知道反射兩次等於一個旋轉
所以同一個 c 點在圓 O' 跟 O'' 上的像 c' 跟 c"
必然是以兩線交點 (原點, 叫它 Z) 為心有旋轉關係
這個旋轉的角度是兩線夾角 60 度的兩倍 120 度
再度觀察反射之後的圖形
易知當 c'c" 連線與 O'O" 連線平行時
這段連線的長度取得極值
(因為如果動一下 c 的話 不管動哪邊
c' 跟 c" 會以相同的方式往兩側移動
也就是說不論往哪邊動會對連線長造成的變動是一樣的
那麼此時必然是極值)
這時若將 O', O", c', c" 都跟原點 Z 連線
則會發現 c', c" 一定會分別在直線 O'Z, O"Z 上 (這一點的證明這裡略過)
因此我們只要找出直線 O'Z, O"Z 跟反射圓的交點即可
計算上方便的是 O'Z 這一邊
O'Z 直線過 Z (0,0) 及 O' (20,-15) 所以即是 3x+4y = 0
代入圓 O' 方程式 (x-20)^2 + (y+15)^2 = 25
可解得 c' 有兩解 (16, -12) 或 (24, -18)
對應的 c" 點分別是 (直接旋轉 120 度) (6√3-8, 8√3+6), (9√3-12, 12√3+9)
兩者的 c'c" 長度分別為 20√3 及 30√3
於是前者即為所求最小值 #
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如果對平行那一段敘述不是很清楚的話
可參考這個: http://w.csie.org/~b94102/math/Math60.html
拖動 C 點它們對應的像 C' C" 兩點即會移動
就會知道那一段敘述的意思了
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実琴：「河野！你真的就這樣被物質慾望給吸引過去了嗎?!」
亨：「只要穿著女裝擺出親切的樣子，所有必要花費就能全免，似乎一點都不壞啊。」
実琴：「難道你沒有男人的尊嚴了嗎?!」
亨：(斷然道)「沒有。在節衣縮食且生活吃緊的學生面前，沒有那種東西。」
－－プリンセス・プリンセス 第二話
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