→ Annihilator :嗯 11/22 17:33
→ vaakaa :推 11/22 23:09
推 tokyo291 :好厲害XD真的太感謝了 原來三次方也有根的公式 11/23 07:54
※ 引述《tokyo291 (工口工口)》之銘言：
: 為了找到極值,我對原函數偏微得到下列兩條聯立方程式
: 40-20*exp(a+b) 70-30*exp(a+2b) 50-50*exp(a)
: -------------- + --------------- + ------------- =0
: 1+exp(a+b) 1+exp(a+2b) 1+exp(a)
: 40-20*exp(a+b) 140-60*exp(a+2b)
: -------------- + ---------------- =0
: 1+exp(a+b) 1+exp(a+2b)
: 虛線就是分數的分子分母間的那一條橫線
: 因為我試過很多方法十字交成 替代 都會得到a和b的多次方項
: 然後就解不出來
: 最後只好用程式直接跑數值解出來...
: 想請問該用何種技巧才能解出來呢?
令 x=exp(a), y=exp(b)
=>
40-20*x*y 70-30*x*y^2 50-50*x
--------- + ----------- + ------- = 0 ...(1)
1+x*y 1+x*y^2 1+x
40-20*x*y 140-60*x*y^2
--------- + ------------ = 0 ...(2)
1+x*y 1+x*y^2
(1) - (2) 可得
-70+30*x*y^2 50-50*x
------------ + ------- = 0 ...(3)
1+x*y^2 1+x
令 c=x*y代入 (2)(3)
40-20*c 140-60*c*y
------- + ---------- = 0 ...(4)
1+c 1+c*y
-70+30*c*y 50-50*c/y -70+30*c*y 50*y-50*c
---------- + --------- = ---------- + --------- = 0 ...(5)
1+c*y 1+c/y 1+c*y y+c
(4)式乘(1+c)*(1+c*y) 展開整理可得 ...(i)
180-20*c*y+120*c-80*c^2*y = 0
=> y = (180+120*c)/(20*c+80*c^2) = (9+6*c)/(c+4*c^2)...(6)
(5)式乘(1+c*y)*(y+c) 展開整理可得
-20*y-120*c+80*c*y^2-20*c^2y = 0
=> -y-6*c+4*c*y^2-c^2*y = 0 ...(7)
(6)代入(7) 並乘(c+4*c^2)^2 展開整理可得 ...(ii)
315*c+390*c^2+105*c^3-90*c^4-120*c^5 = 0
=> -15*c*(1+c)*(8*c^3-2*c^2-5*c-21) = 0
其中c=0為(ii)步造成的增根
(1+c)=0為(i)步造成的增根
=> 8*c^3-2*c^2-5*c-21 = 0
一元三次方程式代公式解可得c
此方程只有一實根
c = 1/12*(2314+3*591645^(1/2))^(1/3)+31/12/(2314+3*591645^(1/2))^(1/3)+1/12
又 y = (9+6*c)/(c+4*c^2)
x = c/y
最後可解得a = ln(x), b = ln(y)
我一定是太無聊了...
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