Re: [分析] dense

[willydp (willyliu)]

※ 引述《caron0225 (淯仔)》之銘言：
: 令 f_k:R^n-->R^m 是一個連續函數sequence;並且 pointwise converge 在整個R^n上
: 定義集合
:    B= ㄇ_e U_k int[ㄇ_j{|f_k-f_(k+j)|<= 1/e}]
: 這裡的 ㄇ指交集, U指聯集, int指interior, 下標 e,k,j 都是從 1~infinity
: 請問如何證明 B is dense in R^n ??
: 想了超級久...還是一直遇到瓶頸!!!
: 請版上大大解答
: P.S 抱歉不太會用符號編輯器...

先固定一個e, 然後我先研究

U_k ㄇ_j{|f_k-f_(k+j)|<= 1/e}


先固定一個open ball U在R^n中

對每個點x在closure(U)中, 根據convergence, exists k such that

|f_k(x) - f_{k+j}(x)| <= 1/e    for all j >= k

因此

U_k ㄇ_j{|f_k-f_(k+j)|<= 1/e} ㄇ closure(U) = closure(U)

用Baire category theorem (因為closure(U)是complete metric space)
必然有某個k, 使得

int[ㄇ_j{|f_k-f_(k+j)|<= 1/e}ㄇcloure(U)] =  nonempty

因為U是open ball, subset有nonempty interior
=>可以找到一個 V, 它在int[ㄇ_j{|f_k-f_(k+j)|<= 1/e}ㄇcloure(U)]之中
而且V在R^n中open, (先找一個closure(U)的open set, 然後縮小它讓它在R^n中也open)

此時V就會完全掉在U裡面, 而不會碰到U的boundary

因此

  (U_k int[ㄇ_j {|f_k-f_(k+j)|<= 1/e}])ㄇU
= U_k (int[ㄇ_j {|f_k-f_(k+j)|<= 1/e}]ㄇU)

is nonempty.

這代表,

U_k int[ㄇ_j {|f_k-f_(k+j)|<= 1/e}]

這個集合是dense, 而且open

最後再用一次Baire category theorem, 把e跑過取intersection, 每個都是dense, open

所以最後的intersection也是dense.

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◆ From: 118.166.202.60
→ willydp     :我的想法是看到這種交集聯集的題目套這個定理很有效
※ 編輯: willydp         來自: 118.166.202.60       (11/22 20:40)
※ 編輯: willydp         來自: 36.225.1.51          (11/22 21:24)
※ 編輯: willydp         來自: 36.225.1.51          (11/22 21:27)
推 chy1010     :看到一堆 ㄇ 笑翻了 XDDD
推 caron0225   :感激W大詳細解答T ^T~~我好好研究一下
推 herstein    :XDDDDDDDD