[線代] Normed vector space

[rebe212296 (綠豆冰)]

Normed vector space(賦範空間)

設X是一個布於F(R或C)的向量空間

若函數∥‧∥:X→R滿足下列三條件，則稱∥‧∥為X的一個範數

1. 若x屬於X，則∥x∥≧0;且∥x∥=0 iff. x=0

2. 若α屬於F, x屬於X，則∥αx∥=|α|∥x∥

3. 若x, y 屬於X，則∥x+y∥≦∥x∥+∥y∥

此處,∥x∥表示函數∥‧∥在x點的值

序對(X,∥‧∥)稱為賦範空間


Metric space(賦範空間)

設X是一個非空集合

若函數d:X×X→R滿足下列三條件，則稱d為X的一個距離

1. 若x, y屬於X，則d(x, y)≧0;且d(x, y)=0 iff. x=y

2. 若x, y屬於X，則d(x, y)=d(y, x)

3. 若x, y, z 屬於X，則d(x, z)≦d(x, y)+d(y, z)

此處,d(x, y)表示函數d在(x, y)點的值

序對(X,d)稱為賦距空間


觀察這兩個定義

書上說賦範空間也是賦距空間，我想證明，但是發現第二點不一樣

向量空間對加法有交換性沒錯，可是為什麼賦範空間要多一個

若α屬於F, x屬於X，則∥αx∥=|α|∥x∥

不知如何證明


希望有版大可以解答 感謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 123.193.56.234
推 APM99       :先令 d:X×X→R by d(x,y)=||x-y||
→ APM99       :然後證明(X,d)是一個 賦範空間
→ APM99       :書上所謂的  賦範空間也是賦距空間  應該是指
→ APM99       :給一個 賦範空間  那我們可以馬上得到一個 賦距空間