作者oNeChanPhile (親姐基)
看板Math
標題Re: [中學] 多項式分式求極值？
時間Sun Nov 25 17:35:59 2012
※ 引述《xx52002 (冰清影)》之銘言：
: 4x^2 - 3x + 1
: ───────，如何用高中方式求其最大值及最小值？
: 4x^2 + 3x + 1
: 寫成1 - 6x/分母，然後後面那東西用微分去求出x = 正負0.5時有極值沒問題，
: 可高中的時候應該要怎作咧 囧？
這題也可以用構造法跟 Appolonius 圓來解（以前的高中程度）
雖然不會比較快但很有趣
將原式改寫為
2 2
x^2 - 3x/4 + 1/4 (x- 3/8) + (0 - √7 / 8)
───────── = ────────────
x^2 + 3x/4 + 1/4 2 2
(x+ 3/8) + (0 - √7 / 8)
則可將原問題轉化成： __ __ 2
下圖中x軸上一點P，到定點 B,A 之距離平方比 (PB / PA) 之極值為何？
↑
A(-3/8,√7/8) ｜ B(3/8,√7/8)
． ┼ ．
｜
｜
｜
─────────┼──────┼───→
P(x,0)
注意「到兩定點距離比為定值」的點集合軌跡為一圓形(Appolonius圓)
__ __
不難觀察到：PB/PA之極小值 k，將發生在此圓半徑＝√7/8 的情況，
即 Appolonius 圓與 x 軸相切於 P 點之情形。
↑
A(-3/8,√7/8) ｜ Q B R
．────┼── :─．─────: ┬
｜ . . ｜ √7
｜ : : ｜ R = ──
｜ ':.. ..:' ｜ 8
─────────┼──────┼───→ ┴
P
__ __
設 QA = a , QB = ka, k 為所求之極小值
__
則可得 AB = (1+k)a = 3/4 .....(1)
__ __ 2R-ka √7 - 4ka
RB:RA = k = ──── = ────── .......(2)
a + 2R 4a + √7
由(1)代入(2) 消去 a，解得 k = 1/√7 , -√7(負不合)
故原式之極小值為 (1/√7)^2 = 1/7
由圖之對稱性知極大值為極小值之倒數 7
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◆ From: 114.39.235.235
更正：忘了平方 XD
※ 編輯: oNeChanPhile 來自: 114.39.235.235 (11/25 17:40)
推 thisday :我沒看過這招!!!!!!!!!! 11/25 17:57
推 thisday :不過 "不難觀察到" 這部分 總覺得有點不嚴謹XD 11/25 18:02
→ oNeChanPhile:高中程度談什麼嚴謹....什麼圓系直線系的不都這樣用 11/25 19:36
→ oNeChanPhile:Appolonius圓的狀況 將k從零變大 就可看到圓半徑漸增 11/25 19:37
→ oNeChanPhile:增到一定程度就跟 x 軸相切....不嚴謹但可接受吧 XD 11/25 19:38
→ oNeChanPhile:水喔 11/25 23:36