作者yhliu (老怪物)
看板Math
標題Re: [微積]關於 e 極限證明問題
時間Mon Nov 26 13:59:12 2012
※ 引述《sowter (窩矮胎萬)》之銘言：
: 已知
: l i m( 1 + a/x )^bx=e^ab
: x->∞
: 有沒有辦法說明或否定
: if
: l i m f(x) =0 and l i m g(x) =∞
: x->a x->a
: then
: l i m( 1 + f(x))^g(x)= l i m e^f(x)g(x)
: x->a x->a
: 我試過羅畢達 但解不出來
: 請高手賜教
ln[(1+f(x))^g(x)] = g(x)[f(x) - f^2(x)/2 + f^3(x)/3 -...]
= g(x)f(x)[1-f(x)/2+f^2(x)/3-...]
所以,
(1+f(x))^g(x)/e^{f(x)g(x)] = e^{-g(x)f(x)[f(x)/2-f^2(x)/3+...]}
若 g(x)f^2(x)→0 當 x→a, 則
(1+f(x))^g(x)/e^{f(x)g(x)} → 1 當 x→a
粗略地說,
g(x) f(x)g(x)
lim (1+f(x)) = lim e
x→a x→a
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◆ From: 114.41.103.30
推 cometic :原PO的條件下即可推出結論 不用加上"(x)f^2(x)→0" 11/27 21:41
→ cometic :g(x)f^2(x)→0 11/27 21:41
推 sowter :感謝 11/27 23:14
→ yhliu :若 g(x)f^2(x)→0 可證得 12/05 22:38
→ yhliu : (1+f(x))^g(x)/e^{f(x)g(x)} → 1; 12/05 22:38
→ yhliu :若 g(x)f^2(x) -\→ 0, 兩邊極限可能都發散至 +∞ 或 12/05 22:40
→ yhliu :都收斂至 0, 但是否 (1+f(x))^g(x)/e^{f(x)g(x)}→1? 12/05 22:41
推 cometic :題目沒說要證 (1+f(x))^g(x)/e^{f(x)g(x)}→1.... 12/05 22:48
→ cometic :只需証明極限兩端"極限值相同"或"一起發散"即可 12/05 22:50
→ yhliu :我不是在做作業或答考卷, 何必完全照題目去回答? 12/05 23:05
推 cometic :沒錯^^ 我也只是回答原po要的問題~ 12/06 12:25
推 cometic :你要問的 若 g(x)f^2(x) -\→ 0 12/06 12:47
→ cometic :當然 (1+f(x))^g(x)/e^{f(x)g(x)}未必→1 12/06 12:48
→ cometic :很明顯有些 例子說明這件事 12/06 12:48