Re: [中學] 多項式

[LPH66 (杇瑣)]

※ 引述《whereian (飛)》之銘言：
:     設f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f之五次實係數多項式
:     且f(0)=-3, f(2)=1, f(4)=2, f(5)=-3, f(7)=4
:     則請問：此函數和y=x^5是否至少交於一點？
:     麻煩各位高手解答，謝謝！
雖然五個點不能解五次多項式

但可以解四次多項式  若令 g(x) 為在這五個點的值跟 f(x) 相同的四次多項式

那 f(x) 就是 ax(x-2)(x-4)(x-5)(x-7) + g(x)

現考慮 f(x)-x^5 和 x 軸是否有交點

a≠1 時比較簡單  因為這時 f(x)-x^5 還是五次多項式

容易知道五次多項式必定和 x 軸有交點 (這個的證明在此略去)

因此這時的答案是 Yes

若 a = 1 則 f(x)-x^5 成為了四次多項式

但因為代入 x = 0, 2, 4, 5, 7 都得到負值

這時要判斷得要寫出 g(x) 來  由拉格朗日插值公式可以如下寫出 g(x):

g(x) = (-3)(x-2)(x-4)(x-5)(x-7)/((-2)(-4)(-5)(-7))
     + (1)x(x-4)(x-5)(x-7)/((2)(-2)(-3)(-5))
     + (2)x(x-2)(x-5)(x-7)/((4)(2)(-1)(-3))
     + (-3)x(x-2)(x-4)(x-7)/((5)(3)(1)(-2))
     + (4)x(x-2)(x-4)(x-5)/((7)(5)(3)(2))

接著就是從這裡勘根

好在代 x = 1 時有好消息:

g(1) = -18/5 (計算略)

f(1) = 1(-1)(-3)(-4)(-6) - 18/5 = 72 - 18/5 = 342/5

f(1) - 1^5 = 337/5 > 0

因此我們知道了在 a = 1 的情形 f(x)-x^5 依然跟 x 軸有交點

以上

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附帶一提, g(x) 全部乘開長這樣:

g(x) = (7/40)x^4 - (133/60)x^3 + (321/40)x^2 - (79/12)x - 3

直接解的確不怎麼好算...(雖然拉格朗日插值公式也沒多好算就是了)

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いああオレたちには見えてるモノがあるbデ きっと誰にも奪われないモノがあるはずさ
け  開口一番一虚一実跳梁跋扈形影相弔yュL羊頭狗肉東奔西走国士無双南柯之夢  歪も
ぶ    　意味がないと思えるコトがある ラPきっとでも意図はそこに必ずある    んの
く  依依恋恋空前絶後疾風怒濤有無相生 ラH急転直下物情騷然愚者一得相思相愛  だが
ろ                    無意味じゃない ラ6あの意図が                        恋た
で  有為転変死生有命蒼天已死黄天當立 !!6五里霧中解散宣言千錯万綜則天去私  のり

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 180.218.108.125
→ yourfriend  :好神!!
推 PONYINNCCU  :為什麼拉格朗日插值代的值可以用f會過的點來代?
→ PONYINNCCU  :沒事了，第一行沒看到
推 whereian    :真厲害！請受我一拜！謝謝