Re: [代數] 怎麼快速的算出這個值

[Sfly (topos)]

※ 引述《keepaway (你認識Anita嗎?)》之銘言：
: 我在計算一個類似的式子
: 5*4 + 4*3 + 3*2 + 2*1
: 長得一樣只是我在計算的長很多
: 我目前試想到把他改成 4*4 + 4 + 3*3 + 3 + 2*2 + 2 + 1*1 + 1
: 然後在平方用平方和  另外一個用等差數列
: 不知道有沒有更直接的方法呢?

由原po的想法, 可以知道 f(n)=1*2+2*3+..+(n-1)*n 是 n的三次多項式
並且 f(n)-f(n-1)=(n-1)n
又 f(0)=0*1=0, 從而 f(1)=f(-1)=0.
因此 f(n)=a*n(n^2-1). f(2)=2=a*2*3 => a=1/3.
so f(n)=n(n^2-1)/3.

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◆ From: 36.227.82.43
推 whereian    :呵呵，又是一條通往羅馬的康莊大道，讚！
推 thisday     :為什麼是三次呀??
→ Sfly        :因為平方和公式是三次
推 whereian    :大概是因為f(n)-f(n-1)是二次吧...
→ yyc2008     :請問  因此 f(n)=a*n(n^2-1) 是怎麼來的
→ suhorng     :三次式 且有 0,1,-1 為根
→ yyc2008     :了解了 0 -1 1都是根
→ thisday     :對齁!
推 herstein    :推!