推 yasfun :好強大 原來均值可以這樣用LOL 11/29 01:05
※ 引述《iverson32 (iverson32)》之銘言：
: Find lim[(x+a)^(1+1/x)-x^(1+1/(x+a))]
: x->inf
: 我用Mapple算出的結果是a
: 目前想法是通分通不出來
: 取log相減不會拆
: 請版上高手教導
: 謝謝
設x>|a|+1
f(t)=(x+t)^(1+1/(x+a-t)) x+a>t>-x
(x+a>|a|+1+a>0>-x)
(x+a>a>-x ,x+a>0>-x)
f(a)-f(0)=(x+a)^(1+1/x)-x^(1+1/(x+a))
(使用均值定理)
f(a)-f(0)=f'(u)(a-0) (u介在a與0之間 跟x有關)
=(x+u)^(1+1/(x+a-u)) *((1+1/(x+a-u))/(x+u)+ln(x+u)/(x+a-u)^2)*a
=a*(x+u)^(1/(x+a-u)) *(1+1/(x+a-u))
+a((ln(x+u))/(x+u))(x+u)^(1/(x+a-u))*((x+u)/(x+a-u))^2
-----------(**)
(1)
(x-|a|)^(1/(x+|a|))≦(x+u)^(1/(x+a-u))≦(x+|a|)^(1/(x-|a|))
所以由夾擊原理
(x+u)^(1/(x+a-u))→1 as x→∞
(2)
1+1/(x+|a|)≦1+1/(x+a-u)≦1+1/(x-|a|)
所以由夾擊原理
1+1/(x+a-u)→1 as x→∞
(3)
(x-|a|)/(x+|a|)≦(x+u)/(x+a-u)≦(x+|a|)/(x-|a|)
所以由夾擊原理
(x+u)/(x+a-u)→1 as x→∞
(4)
ln(x)/x→0 as x→∞
(1),(2),(3),(4),(**):
可知所求為a
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※ 編輯: cometic 來自: 140.114.34.121 (11/28 18:38)