Re: [中學] 問一題宜中高一段考考題

[doa2 (邁向名師之路)]

※ 引述《changzai (無聊中)》之銘言：
: 設x^2+[(x^2)/(x+1)^2]=1的兩實根為a,b,求a+b之解
: 通分後有小小規律但無法漂亮得解，必須轉換做法才可得解
: 不之有沒有人神有快速且高中生可以'想到'的解法
一中資優班入學考考過，我個人是這麼做

原式:x^2+[x/(x+1)]^2=1

可以改成[(x+1)-1]^2+[1-1/(x+1)]^2=1

令t=x+1可得(t-1)^2+(1-1/t)^2=1

t^2-2t+1+1-2/t+1/t^2-1=0

t^2-2t+1-2/t+1/t^2=0

(t^2+1/t^2)-2(t+1/t)+1=0

(t+1/t)^2-2(t+1/t)-1=0

t+1/t = 1±√2  但|t+1/t|≧2  (當t為實數時)

故t+1/t =1+√2

t^2-(1+√2)t+1=0

兩根和=t1+t2=1+√2 = (x1+1)+(x2+1)

故兩根和=-1+√2

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◆ From: 59.126.141.67
推 whereian    :奇怪，為何兩根之和不是-2？
→ doa2        :為什麼是-2 @@ 我應該沒有計算錯?
推 whereian    :對不起，我是用不太嚴謹的根與係數的關係去看
→ whereian    :兩邊乘(x+1)^2之後整理成四次式，理應有四個根
→ whereian    :而這四個根不會有x=-1，依題意應該是二實二虛吧 我猜
→ whereian    :阿，我知道我哪裡考慮錯了，對不起 = =