[機統] 賭博問題

[KAINTS (RUKAWA)]

A,B投擲一枚公正骰子，當A投擲的骰子正面數目大於B投擲的骰子正面數字時，
B給A一元;反之亦然;若兩者正面數字相等時，則不改變。若其中一人錢幣數為
零時，則此遊戲結束。
(1)假設A初始有1元，而B有兩元，試問A獲勝的期望值為何?
(2)承上A獲勝的機率為何?

我的算法是
p(A beat B)=p(B beat A)=15/36=5/12
p(fair)=6/36=1/6
A,B為各所持有的硬幣數
X,Y為平均數
                          Awin
                          ________A=3,B=0 ,end(A win)
                         |
   Awin     A=2          |Bwin
         ______________Y |________X(A=1,B=2) 回到最初情形
        |                |
        |   B=1          |fair
        |                |________Y(A=2,B=1)
   A=1  |Bwin
X ----- |----- end(A lose)
   B=2  |
        |
        |fair
        |____X(A=1,B=2)與最初情形相同

所以由遞迴式可以得到兩條式子
X=5Y/12+X/6
Y=(5/12*1)+(5/12*X)+(1/6*Y)
可得Y=2/3,X=1/3...
解出來一看答案就是錯的，請問一下我這想法是錯在哪裡?
有其他方法可以解嗎?(盡量不要隨機步的作法)

第二小題順便麻煩了

感謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 123.193.7.20
※ 編輯: KAINTS          來自: 123.193.7.20         (11/30 11:30)
→ KAINTS      :用手機打的，如果有不清楚的地方，請見諒
※ 編輯: KAINTS          來自: 123.193.7.20         (11/30 11:44)
※ 編輯: KAINTS          來自: 123.193.7.20         (11/30 11:46)
推 APM99       :因為你第一個X與後面那個X發生的機率不一樣
→ KAINTS      :機率不是由骰子決定嗎，這樣獲勝機率有變嗎
推 APM99       :我不知道你X的意思是什麼,如果你的X是指 A1元B2元
推 seeyou12    :我也不懂X Y的意思...
→ seeyou12    :看起來是X狀況 Y狀況 所ˇ你算的是X發生的機率?
→ KAINTS      :我原意是令X為期望值..還是我這算法是在算機率= =?
→ KAINTS      :算到後來腦袋有點打結了@@
→ KAINTS      :已解決
→ yhliu       :什麼叫 "A獲勝的期望值"? "A獲勝的機率" 又是指什麼?
→ yhliu       :如果 "獲勝" 指的是遊戲結束時誰贏, 那麼誰獲勝誰手
→ yhliu       :裡就有3元, 所以獲勝方的期望值是 3.
→ KAINTS      :算出來答案是12/5捏
→ KAINTS      :就是A手上有三元就叫A獲勝
→ KAINTS      :那個期望值只的是A獲勝所需的次數
→ yhliu       :我只能算出: 若不論誰勝誰負, 遊戲結束期望局數 12/5
→ yhliu       :遊戲以 A 勝出結束機率 1/3.
→ yhliu       :但我還不會算 "A勝出之期望局數".
→ yhliu       :當然就此特例或許是可算的? 我考慮的是一般化的問題.
→ KAINTS      :樓上大大是用什麼方法算的捏?
→ KAINTS      :我第一題是利用遞迴式解的
→ KAINTS      :第二題是用這個圖 然後考慮兩層的機率 有點類似全機
→ KAINTS      :率定理下去推
→ yhliu       :我的算法貼在 telnet://bs2.twbbs.org 的 P_yhliu 了
→ yhliu       :第一題的困難在於條件 "A勝出". 我不清楚在這條件下,
→ yhliu       :每一局 A 輸、贏、和的機率受到怎樣的影響.
→ yhliu       :不可能沒有影響, 因為那樣算出來的結果是錯的!
→ yhliu       :嗯...或許可以從這一點再出發, 重新考慮...
→ yhliu       :就這個例子, 算出: 在 A 勝出條件下, 期望局數是16/5
→ yhliu       :而 B 勝出之條件下期望局數應是 2. 所以不論誰勝出,
→ yhliu       :期望局數 12/5=(16/5)*(1/3)+2*(2/3).
→ sneak       : 機率不是由骰子決定嗎， https://noxiv.com
→ sneak       : 那個期望值只的是A獲勝 https://daxiv.com
→ sneak       : 期望局數 12/5=( https://muxiv.com
→ sneak       : 我不知道你X的意思是什 https://noxiv.com
→ muxiv       : 算到後來腦袋有點打結了 http://yaxiv.com