[討論]在有限閉區間上的連續函數

[rebe212296 (綠豆冰)]

在集合G中的一個數列為有界，

定義為for all z_n 屬於集合 G, 存在M屬於實數 such that |z_n |<M

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若一個連續函數的定義域為R中的有限閉區間

則此函數為有界函數


證明:

令A為R中的一個有限閉區間，f為定義在A上的連續函數

則對於每個c屬於A 選ε=1 可找到一個δ使得 x屬於A, |x-c|<δ推得|f(x)-f(c)|<1


令U1={y屬於R | |y-c|<δ}  B1=1+|f(c)|

|f(x)-f(c)|≦|f(x)|-|f(c)|<1

故|f(x)|<B1

證得f為有界函數

但是證明中「有限」的條件沒用到(?)


我們發現 若x同時屬於U1和A 則f(x)為有界

這段敘述引出討論U1的聯集

討論 x屬於U1 的情形 U1為R中的某些開區間

U1包含於A中 且U1聯集(有限個)之後 一定使得A包含於其中(因為A為有限區間)
                       ↑                                      ↑
                   改成 可數個                             改成 R的子集

就定義U1是A的一個開覆蓋(open covering)


U1中的子集U2，若聯集(有限個)後使A包含於其中，則稱U2為U1的子覆蓋
                        ↑
                   改成 可數個


定理:對於R中的任一子集G, G中的每一個開覆蓋都有一個可數的子覆蓋

定理:對於R中的任一子集G, G為有界閉區間, G中的每一個開覆蓋都有一個有限的子覆蓋


我覺得以上敘述中，有限和有界的劃分不清楚，希望有高手可以指點，感謝




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→ abc2090614  :你上面找open cover的時候少一步把它變finite cover
→ abc2090614  :這一步要用到有界閉區間的條件  應該不是"有限"吧?
→ abc2090614  :Heine-Borel: closed bounded = compact in R^n
→ rebe212296  :恩恩 感謝提醒
※ 編輯: rebe212296      來自: 123.193.56.234       (12/03 01:15)