推 someone :推 認真 12/03 19:05
※ 引述《spoke (熱血少年)》之銘言：
: 已知：
: 13a^2=25b^2+250000
: 求a+b的最小值為何？
若不加上其他條件
顯然a+b找不到最小值
因為令b=-k (k>0)
解得a=±√((25k^2+250000)/13)
取a=-√((25k^2+250000)/13)
a+b=-k-√((25k^2+250000)/13)→-∞ ,當k→∞
以下討論 "加上a,b均為正整數"!
13a^2=25b^2+250000-----------------------------(**)
(1)
因為13a^2=25b^2+250000
所以可令a=5k (k為某正整數)
代回(**):
13k^2=b^2+10000--------------------------------(*1)
(2)
13k^2≡0,2,3 (mod 5)
b^2+10000≡0,1,4 (mod 5)
因為(*1)
所以只能
13k^2≡0≡b^2+10000 (mod 5)
所以此時
k≡0≡b(mod 5)
令k=5n,b=5m n,m為某正整數
代回(*1):
13n^2=m^2+400----------------------------------(*2)
(3)
類似(2)的討論:
13n^2≡0,2,3 (mod 5)
m^2+400≡0,1,4 (mod 5)
因為(*2)
所以只能
13n^2≡0≡m^2+400 (mod 5)
所以此時
n≡0≡m(mod 5)
令n=5p,m=5q p,q為某正整數
代回(*1):
13p^2=q^2+16----------------------------------(*3)
顯然
p=1時,q不為整數 (不合)
p=2時,解出q=6
從(1)~(3)我們知道:
a=125p,b=25q 且p,q為正整數 要符合13p^2=q^2+16
故得知
a+b=125p+25q=25(5p+q)
若解出的p≧3 可知a+b=25(5p+q)≧25(5*3+1)=25*16=400
若p=2,解出q=6 a+b=25(5*2+6)=25*16=400
(p=1無解)
因此得知a+b的最小值為400
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※ 編輯: cometic 來自: 140.114.34.121 (12/02 20:08)