作者microball (無華之果)
看板Math
標題Re: [微積] 為何sin(1/x)是integrable?
時間Wed Dec 5 02:28:21 2012
(之前的筆記剛好有這題:)
試證 sin(1/x) 在 [0,1] 可積。 (這個函數有趣的就是在0點附近無窮震盪)
這個積分若存在，一定介於 [-1,1]。唯一需要擔心的是無窮震蕩會不會讓積分不存在。
(方法一) 利用 Lebesgue's criterion:
若函數在 compact set S 上面處處有界有定義，而且不連續點集合測度為0
則函數在 S 上可積。
(方法二) 變數代換 y = 1/x, 可以證明積分收斂 (但是好像沒有 close form)。
(方法三) 幾何想法：這個積分可以想像成正向跟負向的面積和。
當靠近0的時候，面積都趨近於零 --> 因可從數列證明這個面積和收斂：
交互級數收斂條件：
若遞減交替級數(每項都是一正一負)，其絕對值趨近於零，則級數收斂。
※ 引述《Qmmmmnn (Qmmmmmmmmm)》之銘言：
: 因為用手機發文，所以排版不太好，還請各位多多包涵...
: 最近讀到
: lebesgue integrability and Riemann integrable
: 有個範例是：
: The function f:(0,1) -> R defined by
: f(x) = sin(1/x)
: Is bounded and continuous, and therefore integrable,
: On (0.1). But it is not piecewise
: continuous because f(0+) does not
: exist.
: 我覺得在x->0+的跳動很大，不知會是靠近1還是-1，所以總覺得沒辦法積分，不知道這跟下列這段有沒有關，因為我看不太懂
: the simple criterion for integrability given by Lebesgue:
: A subset of R is said to have measure zero if and only if it can be enclosed in a finite or infinite sequence of open intervals whose combined total length - the sum of a finite or infinite series whose terms are the lengths of the individual intervals - is arbitrarily small, that is, smaller than any press signed positive number. Then Legesgue showed that f is Riemann integrable on (a,b) if and only if the set of points where f is discontinuous has measure zero.
: 麻煩各位了~謝謝~
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才華不會令人幸福，而自私卻能解除人的痛苦。
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◆ From: 216.165.95.73
→ abc2090614 :你的1有問題 Riemann integrable跟"integrable"是 12/05 03:10
→ abc2090614 :兩回事. 在討論measurable function時 "integrable" 12/05 03:10
→ abc2090614 :指的是f的絕對值的積分為有限 12/05 03:11
→ abc2090614 :不過我猜原po指的是Riemann integrable...所以ok 12/05 03:12
→ abc2090614 :看來原po應該是高微還不是實變 所以忘掉我上面講的 12/05 03:14
→ abc2090614 :那些東東吧... 12/05 03:14
→ microball :啊同意 第一點的可積指的是 Riemann 可積 沒寫清楚 12/05 04:16
→ doubleN :為什麼要擔心無窮震蕩會讓積分不存在? 12/05 06:38
→ microball :應該是說，如果是 bounded variation 的函數 12/05 08:19
→ microball :有定理說明是黎曼可積函數。這題之所以還值得討論 12/05 08:20
→ microball :是因為函數有無窮震蕩 12/05 08:20