[中學] 跟期望值有關的謬論

[eric00031 (eric00031)]

一場獎金遊戲中，有A、B兩扇門供參賽者選擇。
主持人表示，兩扇門後皆有獎金，
但其中一扇門的獎金是另一扇的兩倍。
但是主持人並未公布兩扇門相加的總獎額是多少。

接著，參賽者選擇了A門，打開後獎金是100元。

主持人給予了參賽者一次換門機會，
參賽者開始計算兩扇門的獎金期望值：

A門毫無疑問的是100元獎金。
B門獎金有兩種可能，即50元或200元，且機率各半
(取決於A門是大獎或小獎)
由此知B門獎金期望值是125元，果斷換門。

但是，這個結論應該是錯誤的。

如果A門是100元就要換門，那幾元就不換？
如果不管幾元都要換，為什麼不一開始就選B門？
選了B門亮出獎金後，透過同樣推論又發現應該換A門!?



試改變題目情境如下：

參賽者賣弄數學，
選門前就預先拿出紙筆作計算。
假設A門獎金是a元，B門是b元。
選擇A門就可以拿到a元，而b=0.5a或是2a，
所以b的期望值是1.25a，大於a，應該選B門，
但選了B門後，
再去估計A門的獎金又會發現a的期望值是1.25b，
這就造成了循環下去的矛盾，
當然，在沒有任何資訊的情況下選門，
絕對是公平的，
兩扇門理應有相同的期望值，
那麼上述推論的錯誤又在哪裡？

正確的計算應該是這樣的：
獎金總額是3x元的話，
只有兩種情況，a=2x，b=x或是a=x，b=2x。
所以a和b的期望值都是(2/3)x，
換不換門都是無所謂的。

雖然我覺得我已經找到正確的算法，
但我還是不會解釋錯誤算法的錯誤點在哪裡…

試著誇張化題目：
兩扇門的獎金倍數差變成1億倍，
你開了A門發現是1元，
那難道不意味著B門可能是1億元或是0元？
(一億分之一太小，當作0元來看)
並且1億元和0元機率難道不是各半嗎？
這種情況下真的不需要換門？
換了門頂多損失1元，但卻可能得到1億！

希望有高手提供解釋，能針對謬論的錯誤點攻擊。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.175.140
推 APM99       :為什麼一開始那個結論是錯的
→ APM99       :給出某一條件後就該用條件改變後的算法
推 dorminia    :這就跟三門問題開門前和開門後的決策不同一樣
→ eric00031   :得知A門獎金是無用的資訊，因為可以自己假設成a元
→ eric00031   :我覺得這跟三門問題不同，三門問題很好理解
→ eric00031   :但是這題的開門獎金並無助於參賽者決策
※ 編輯: eric00031       來自: 140.112.175.140      (12/05 15:53)
推 APM99       :第一個門隨便開   我就是來換門的
→ eric00031   :若你同意此謬論，不用開第一個門，就知道要換門
→ eric00031   :然後經過計算又再換一次，未開門前你已經換了無數次
推 APM99       :沒開門怎麼換門呢
我的意思是，你心中選定某門後，無論獎金多少，都勢必換門，
那為何不一開始就選另一扇門？
一旦你依此想法選了另一門，同樣的問題又出現了。
這跟三門問題的不同在於，主持人知曉哪個門有獎而不會公布該門，
但是這題中主持人完全沒插手，從頭到尾是參賽者在腦補...
※ 編輯: eric00031       來自: 140.112.175.140      (12/05 16:02)
※ 編輯: eric00031       來自: 140.112.175.140      (12/05 16:04)
→ bbenson     :我猜是條件期望值的問題
→ eric00031   :我也覺得是條件問題，但我太弱了無法完美解釋
→ APM99       :因為一開始沒有另一扇門可以選阿  要先開門才能換門
推 APM99       :你只是 在門都沒開前 沒有所謂的 換門 這件事
→ eric00031   :所以你覺得A門打開以後不管多少錢你都要換成B嘍?
→ eric00031   :那做啥等到打開A門才換，直接選B就好啦
→ eric00031   :A門獎金金額多寡根本不影響你的決策，不是嗎？
→ APM99       :什麼是A,B門呢  在我心中只有第一個打開的門  跟第二
→ APM99       :個打開的門
→ eric00031   :那麼第一個開的門的獎金多寡是否影響決策？
→ yhliu       :這不稱 "謬論", 是稱 "詭論", 也有譯為 "奇論".
→ sneak       : 那麼第一個開的門的獎金 https://muxiv.com
→ sneak       : 所以你覺得A門打開以後 https://daxiv.com
→ sneak       : 得知A門獎金是無用的資 https://noxiv.com
→ sneak       : 我也覺得是條件問題，但 https://daxiv.com
→ muxiv       : 給出某一條件後就該用條 http://yaxiv.com