作者yhliu (老怪物)
看板Math
標題Re: [中學] 跟期望值有關的謬論
時間Wed Dec 5 16:28:39 2012
貼一下舊文...
時間 2006/06/24 Sat 06:25:00
※ 引述《reterk (reterk)》之銘言：
: 題目：
: 有兩個箱子各藏有一份獎金 其中一份獎金是另一份的金額的兩倍
: 某來賓選定一個箱子並且打開得到獎金 y 元
: 主持人讓來賓決定要不要放棄此 y 元以換得另一個箱子的獎金？
其實, 詭論之所以發生, 即使不是全部, 也多數是因思考
上的盲點.
如 west1996 說的, the exchange paradox 的盲點,是把
確定(但未知)的東西, 當成隨機量, 並隨意地附予機會均
等的假設.
確定而未知的量, 就是統計模型中的 parameter(s).
也就是說:
本來應是統計推論問題, 卻被當做機率計算問題在思考!
這與電視抽獎遊戲的 "換不換" 是完全不同的問題! 1998
年的那篇一開始就指出這一點來了.
把這問題用統計問題來看, 群體是{θ,2θ}, 我們不知θ
是多少, 但我們有機會抽取(隨機地)群體兩個觀測值之中
的一個, 以 Y 表示:
P[Y=θ] = 1/2 = P[Y=2θ]
若換成另一個, 以 X 表示,
P[X=2θ] = 1/2 = P[X=θ]
因此, 換不換期望值都是 3θ/2.
看到 Y=y 再決定換不換有差嗎?
從傳統 (非貝氏) 方法來看, θ 的一個合理估計量是
θ^ = 2Y/3
估計值 2y/3.
因此估計 E[X] 是
(E[X])^ = 3(θ^)/2 = 3(2y/3)/2 = y.
若從貝氏觀點, 可付與θ一個先驗分布 (prior distribution).
於是, y 的結果與該先驗知訊比較, 可得換不換何者較佳
的決策.
問題是: 如果有過去經驗可有效而正確描繪出先驗分布,
而且有理由相信目前的情況(群體)與過去相同, 貝氏方法
的結論才是有用的. 隨意地訂下一個先驗分布的貝氏分析,
只不過是自欺欺人的把戲罷了!
發信人: cweng.bbs@csie.nctu.edu.tw (呆), 信區: math
標 題: 一些機率問題
發信站: 交大資工鳳凰城資訊站 (Mon Oct 12 15:35:54 1998)
轉信站:
bar!chinese.iie.ncku!news.iie.ncku!news.ncku!news2.ncku!news.nctu!ctu-g
從大於0的實數任取一個
然後丟銅板如果正面就再取另一為原來兩倍的實數
如果反面就取原來的2分之一的實數
1. 請問得到兩倍或二分之一的數機率是否各一半
今取到兩個數, 假設一數為x另一數為2x
2. 從兩數中認取一數, 拿到x與2x的機率是否各一半
現在開始思考拿另外一數是否較好
3. 原先拿到的數假設是y(當然y=x或2x), 換另外一數,
會變兩倍或會變二分之一的機率是否與y的值無關
且各為一半
4. 換另外一數後可能得到的數的期望值是否為
2y*1/2+(y/2)*(1/2)=5y/4
5. 所以不管你第一次想拿什麼, 就去拿另一個數
將會拿到原先想拿的5/4倍的數
6. 如果依此要領不停的換那你可能拿到的數期望值是無限大了
7. 可是這兩個數是確定的x與2x阿!
我有一點了解電視上玩抽獎遊戲時
主持人問要不要換時
一般人就會換的道理
發信人: yhliu@bar (......), 信區: math
標 題: Re: 一些機率問題
發信站: 成大資訊所_BBS ( Oct 12 18:16:49 1998)
轉信站: bar
這個問題和先前抽獎的問題並不相同 (不過...也
許你所談的也不是本版先前在談的抽獎問題﹖)。
倒是與所謂 exchange paradox 類似, 可參考
Christensen and Utts (1992),
"Bayesian resolution of the 'exchange paradox'."
The American Statistician, V.46, N.4, pp.274-276.
但你的問題描述有些不清楚....
如果是丟銅板決定是拿 x 的 1/2 或拿 2x, 則
期望值是 5x/4 沒錯, 也就是丟銅板換獎金, 就
期望值來看是比不丟而直接拿 x 有利。
若此程序能繼續做, 期望值當然是愈來愈大!
注意第二次丟時可能結果是 x/4, x, 4x, 其機率
依次為 1/4, 1/2, 1/4, 期望值 25x/16.
原來的 exchange paradox 換成你的描述可能是:
有兩數 x, 2x。今你取一數; 而你有機會換另一數。
因此你考慮:
我所取的數有 1/2 機會是 x; 設取得的數是 y。
若換, 則有 1/2 機會取得 2y, 1/2 機會是 y/2,
期望值 5y/4。
但反過來, 當你換了以後, 設拿到的是 z, 則同
樣的思考會認為再換回來期望值是 5z/4。
所以: 換來換去, 似乎愈換愈好....
發信人: yhliu (......), 信區: math
標 題: Re: 一些機率問題
日 期: Tue Oct 13 17:12:55 1998
此一問題固然有文獻可查考, 但我個人的想法是:
事實上, 上述「換較好」的考慮是有問題的! 因為
在考慮換得結果是現有值的 1/2 或 2 倍時, 現有
值並不相同!
換言之, 2y 和 y/2 的 y 是不同的!
同理, 換了以後的 z, 再考慮換回來時, z/2 和 2z
的 z 也是不同值。
若不換, x 和 2x 各 1/2 的機會, 期望值是 3x/2。
若換: x->2x 機會 1/2; 2x->x, 機會也是 1/2;
也就是說: 換了以後拿 2x 和 x 的機會仍各是 1/2,
所以期望值仍是 3x/2, 並未改變!
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◆ From: 114.41.99.152
推 eric00031 :感謝前輩解疑 12/05 16:49
→ eric00031 :那是否"A門獎金100則B門獎金50或200"這句就是錯的？ 12/05 16:50
→ eric00031 :因為那句話是錯誤的機率描述法嗎？ 12/05 16:51
推 usttsu :A.B門獎金一開始就固定 獎金是未知的但非變數 12/05 17:38
→ yhliu :"B門獎金50或200" 應該是沒錯, 問題是: 並不應該認為 12/05 17:59
→ yhliu :它有 1/2 可能是 50, 1/2 可能是 200. 12/05 18:00
→ eric00031 :瞭解了，感恩！ 12/05 18:12
→ yhliu :說 "B門獎金50或200" 沒錯, 並不是說兩個門的獎金有 12/05 18:16
→ yhliu :50,100,200 三種情形. 只是因為 "未知" 所以根據已知 12/05 18:17
→ yhliu :訊息推論其有那樣的 "可能", 但這 "可能" 不是隨機現 12/05 18:18
→ yhliu :象, 不是具有機率的. 如果我們事先知道兩個門的獎金, 12/05 18:19
→ yhliu :就像 "汽車或山羊" 的例子, 那麼兩個門之一開了, 當 12/05 18:19
→ yhliu :然就可推知另一個門裡是什麼. 在事先未知兩個門裡的 12/05 18:20
→ yhliu :內容的情況, 已知一個門內是 100元, 而我們推論另一 12/05 18:21
→ yhliu :個門裡有 50 或 200 兩種可能, 等於推論出原本兩個門 12/05 18:22
→ yhliu :後的獎金是 {50,100} 或 {100,200} 兩種可能之一. 而 12/05 18:22
→ yhliu :究竟是哪一種情形, 是未知的, 但不是隨機的. 12/05 18:23
→ eric00031 :大致接受了，但老實說現在如果告訴我兩門差1億倍，我 12/05 18:52
→ eric00031 :開了A門發現是1元，我肯定還是堅持換門的XD 12/05 18:52
→ eric00031 :總覺得這種直覺已經根深蒂固了，仔細想來才發覺不對 12/05 18:53