[中學] 一個還算常見的定理，關於自然數連乘積

[letmegoogle (goo之哉 goo之哉)]

大家很可能聽過這樣一個定理:

"連續n個自然數的乘積，必為n!的倍數"

對此我想到的證明是:

(1)從1開始n個連續自然數的乘積，也就是1*2*...*n=n!

   那麼n!當然是n!的倍數

(2)從r+1開始n個連續自然數的乘積，也就是(r+1)*(r+2)...*(r+n)

   這個數也等於(n+r)!/r!

   而要說"(n+r)!/r!是n!的倍數"等於是說"(n+r)!/(n!r!)是整數"

   但是，後者顯然是整數，因為它等於C(n+r，r)=C(n+r，n)

   所以必為自然數，

   故得證~

   (這樣證可以嗎?

   另外，因為是正整數問題~可以用數學歸納法去證嗎?)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.136.224.19
推 mack        :C(n+r，r)為自然數  不是直接的  這要證明
 (我好像第一次聽到這種說法耶~為什麼呢?)
※ 編輯: letmegoogle     來自: 140.136.224.19       (12/05 21:16)
推 LPH66       :我比較覺得這要看定義  如果你用加法遞迴定義 C(n,r)
→ LPH66       :那它由定義都是自然數  如果是定義成n!/(r!((n-r)!))
→ LPH66       :才要如一樓說的證明
推 rehearttw   :我同意一樓及樓上,當定義出現分數式時，是否必為整數
推 THEJOY      :用combination會有循環論證的疑慮吧？
→ THEJOY      :用數學歸納法可能會比較恰當