Re: [微積] 高微_黎曼積分存在問題

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《yasfun (耶死放)》之銘言：
: (以下皆為黎曼積分)
:      b
: 已知∫ f(x)*dg(x) 存在
:      a
: 且a<c<b
:    c                b
: 那∫ f(x)*dg(x) 和 ∫ f(x)*dg(x) 皆存在
:    a                c
:                b
: 且兩者相加等於∫ f(x)*dg(x)
:                a
: =======分隔線=======
: 想問大家這個敘述是一定對的嗎??

錯的，要g(x)是of bounded variation

ref. Apostol Thm 7.25

: 如果不一定對的話，加上 g(x) is increasing 這個條件是不是就會一定對了??
: 如果加上g(x) is increasing 不一定對的話 那要加上什麼條件才會一定對??

如果g(x) increasing，g(x)就是of bounded variation，就對了


:                       d              b
: 另外想問有沒有a<d<b  ∫ f(x)*dg(x)、∫ f(x)*dg(x)都存在但
:                       a              d
:  b
: ∫ f(x)*dg(x) 卻不存在的例子??(在這個例子中g(x)可以不用increasing)
:  a

沒有，Apostol Thm 7.4說，a<b<c，積分[a,b]、[b,c]、[a,c]三者任兩者存在時

則第三者存在且滿足 積分[a,b] + 積分[b,c] = 積分[a,c]

: 小弟想了很久，如果假設g(x) is increasing那個敘述似乎可以用Riemann condition
: 證明他是對的(我不太確定~"~)
: 然後對於兩段積分存在、全部積分不存在卻束手無策Orzzzz
: 抱歉問題有點多~"~
: 麻煩各位了> <

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◆ From: 1.164.252.101
推 yasfun      :後面那個我了解了
→ yasfun      :但第一個我要問的就是 如果g(x) not of bd variation
→ yasfun      :那會有反例嗎??(也就是有可能兩者之一不存在??)
推 doubleN     :積分[a,b] + 積分[b,c] = 積分[a,c] 應該要加個條件,
→ doubleN     :就是函數f跟g不能在b點同時不連續
→ doubleN     :否則積分[a,b]和積分[b,c]存在, 但積分[a,c]不存在
推 yasfun      :可以請樓上詳細說明嗎??為什麼同時不連續時積分[a,c]
→ yasfun      :不存在??
推 yasfun      :我打錯了= =應該是為什麼[a,b]會存在XD