作者jurian0101 (Hysterisis)
看板Math
標題[機統] Stirling公式裡的π
時間Sat Dec 8 16:36:36 2012
(*斗膽轉自個版*)
由二項式分布推到高斯分布的關鍵是Stirling's formula
詳見爆好文，「自然語言處理」博客站主的「正態分布的前世今生」一文
http://goo.gl/7sKjH
Stirling's formula的導出有很多方法，知道正確形式會簡單一點
是為教科書法，棣美弗先生 De Moive當初是怎麼證的還需考證一番
可能是類似這樣吧
http://www.sosmath.com/calculus/sequence/stirling/stirling.html
其實只要到 n Log[n] - n < Log[n!] < (n+1) Log[n+1] - n 這一步
就可以看出來 n! ~ 某比例常數* (n/e)^n 的形式了
而有點骯髒(dirty)的慢慢湊形式方法在下個連結，微吐槽是這麼醜的算法
還敢在結語寫說登山一步步辛勞，途中看到了美景......算了。
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_17_2_05/index.html
Stirling公式最為神秘迷人的地方是π莫名其妙地亂入了
關於這個π是怎麼來的，解釋有百百款。大致上
1. 用到Wallis無窮連乘積，如上面某個連結
所謂Wallis乘積是
http://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_product
用到Sin[x]/x的無窮連乘積展開，這又跟歐拉解 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...
無窮和的「小賤招」是同一招，所以由Sin[x]/x變連乘積的公式冠以Euler-Wallis之名
http://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem
**Basel問題中 n=2的值，也就是
1 1 1 1 1 π^2
---+---+---+---+---+... = ------
1 4 9 16 25 6
也莫名其妙有個π
費曼先生表示: 誰人來告訴我圓在哪裡!
詳細證明歐拉的方法有效的是Weierstrass Factorization Theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_factorization_theorem
看到大牛名字就預料到這要用到複分析領域的定理。簡單來說對於複平面上的全純函數
(holomorphic function)可以拆成連乘積，在複數域。
總之在Striling證明過程出現的連乘積，套用Euler-Wallis equation就跑出√π了
好像沒有很基本、很自然、很優雅，簡直像意外或人為湊出來的。
2.
一個波蘭數學奧匹題目引出的小意外
Knuth’s “Why Pi” Talk at Stanford: Part 1
http://apetresc.wordpress.com/2010/12/28/knuths-why-pi-talk-at-stanford-part-1/
哇哇哇是高德納
題目是：
「有沒有可能，對兩顆骰子採用灌鉛處理，使得擲出點數和是2~12的機率完全一致？」
有興趣可以拿去算。
反正Knuth在講題裡報告的是，原作者Johan Wästlund在解這題時靈光一現藉由它硬是
把Stirling formula -- 其實是Catalan number
C[n]~ 4^n * n^(-2/3) / √π
跟圓扯上了關係。
這樣感覺還是很巧合很人為嗎，我也這麼覺得XD 總之高德納表示，π「不過是」一族
特殊曲線 x^α + y^α = r^α 中 α=1/2 的特殊情形而已。
大師的看法甚是
3. Gamma函數的歷史
最後一個解釋Stirling理的√π是用Γ(1/2) = √π，不過這也只是把疑惑變成
為何Gamma函數會有π而已 (倒)
(導出Γ(1/2) = √π，過程 = 變數變換，轉成高斯積分)
話說回來，又名Euler's integral of the second kind 的 Gamma函數到底為何會
長成今天這個樣子，其淵源以及剛好在整數值取n!，與Beta函數的關連，複分析的
重要(?)地位
都蠻少有人討論的，例如，最早提出積分形式 ∫x^(n-1) e^(-x) dx 的人是？
這篇有詳盡歷史
Why is the gamma function so as it is? Detlef Gronau (2003)
http://www.uni-graz.at/~gronau/TMCS_1_2003.pdf
這個函數的誕生史，牽扯到的數學家有
Christian Goldbach: 對整數取值函數內插成實數取值函數的研究。跟Euler通信。
Daniel Bernoulli: 跟Euler同在聖彼得堡的麻吉，提出最早的一個連乘積形式。
John Wallis: 歐拉知道他對於π與連乘積的研究，其中有一個含sin的積分形式跟今日
gamma變數代換成sin一模一樣。
Leonhard Euler: 集大成，提出上面有的沒有的公式等價，還算出Γ(1/2) = √π
他也提出"第一類Euler積分"等於今日的Beta函數
1
Β[x,y] = ∫ t^(x-1) (1-t)^(y-1) dt
0
上述數學歷史探源，作者猜想說Euler之所以要做一個奇怪的平移 Γ(n) = (n-1)!
而不是Γ(n) = n!，可能是為了遷就Gamma與Beta函數一個形式上很漂亮的關係
Γ[x] Γ[y] (x-1)! (y-1)!
B[x,y] = -------------- = --------------- 你看寫成階乘就沒有那麼漂亮惹
Γ[x+y] (x+y-1)! (真是醬?)
最後是
Adrien-Marie Legendre: 在其橢圓函數專著裡介紹了Euler的結果，重要的是Γ的記號
是他引進的
(*勒讓德先生竟然一幅傳世的肖像都找不到，只能被迫用了漫畫家的滑稽肖像---超好笑
.....話說回來這對一位大數學家有點杯具*)
Carl F. Gauss: 把gamma函數寫成連乘積並作了推廣，超越Bernoulli或Euler之處在於
Gauss考慮了gamma函數在複數的取值。
Karl Weierstrass: 如同前述對於無窮連乘積複分析等等(天書)做出一個奠基的動作XD
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額外的連結
數學家瓦歷斯
http://en.wikipedia.org/wiki/John_Wallis
數學家肖像大全
http://photo.163.com/fqmsgzssx@126/#m=1&aid=182671803&p=1
Legendre散佚的臉孔
http://www.ams.org/notices/200911/rtx091101440p.pdf
SOSMATH: The Gamma Function
http://www.sosmath.com/calculus/improper/gamma/gamma.html
Emil Artin: The Gamma Function
http://www.plouffe.fr/simon/math/Artin%20E.%20The%20Gamma%20Function%20(1931)(23s).pdf
某數學家對於Γ函數在負偶數(解析延拓後複數平面上)取值為無限大很不滿，因此
提出了「更好的Gamma函數」(看不懂)
http://www.luschny.de/math/factorial/hadamard/HadamardsGammaFunction.html
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