作者a81288653 (Bow)
看板Math
標題Re: [機統] 和順序統計量有關的條件密度函數
時間Sat Dec 8 23:20:02 2012
先和大家說聲抱歉,在之前本文描述不清楚,導致大家看不懂
其實我想問的問題是現今有N個隨機變數Xi,假設它們是i.n.i.d(獨立非同分佈)
如果當Xi之間的最大值發生在隨機變數Xj時,那麼Xj的distribution會是什麼?
另外非常感謝Y大上一篇的回答,
而如今我想試著從c.d.f.出發推導看是否能得到和Y大相同的結果
但結果是不一樣的,想請大家幫我看看問題出在哪兒
--------------------------以下推導--------------------------------
首先假設N個隨機變數X_i是i.n.i.d.
並且所對應到的p.d.f.及c.d.f.各別是f_i(x)和F_i(x)
令事件A為{max(X_1,...,X_N = X_j)}
要求的是F_j|A (x) = Pr{X_j <= x | A}
首先想到的是從 Complementary c.d.f. 下手
-
F_j|A (x) = 1 - F_j|A (x)
= Pr{X_j > x | A}
= Pr{X_j > x ∩ A} / Pr(A)
= Pr{X_j > x and X_i <= x for all i≠j} / Pr(A)
= (1 - F_j(x)) Π F_i(x) / Pr(A)
i≠j
=> F_j|A (x) = 1 - (1 - F_j(x)) Π F_i(x) / Pr(A)
i≠j
到這邊之後,我想代入i.i.d.的case來看看推出來的算式是否正確
(i.e. f_i(x) = f(x), F_i(x) = F(x))
For i.i.d case,
N-1
F_j|A (x) = 1 - N * (1-F(x)) * F(x)
N-1
但微分之後所得到的f_j|A (x) 並非是 N * f(x) * F(x)
那就代表我的推導過程中一定出了差錯, 因此想拜託大家替我糾正錯誤觀念, 謝謝
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◆ From: 118.171.31.194
→ yhliu :P[max{X1,...,Xn}=Xj and Xj≦x] = 12/08 23:34
→ yhliu := E[P[Xi≦Xj, all i≠j|Xj]I(Xj≦x)] 12/08 23:37
→ yhliu : = ∫_(-∞,x] f_j(t)Π_[i≠j]F_i(t) dt 12/08 23:38
→ yhliu :For i.i.d. case, 得: 12/08 23:40
→ yhliu :P[max{X1,...,Xn}=Xj and Xj≦x] = [F(x)]^n 12/08 23:41
→ yhliu :而 p.d.f. 為 n f(x)[F(x)]^{n-1}. 12/08 23:41
→ a81288653 :對不起,第二行無法吸收...可以請您解釋一下嗎 12/09 01:19
→ yhliu :那就直接看第3式吧! 12/09 01:21
→ a81288653 :那請問第一式是如何直接跳到第三式呢? 12/09 01:25
※ 編輯: a81288653 來自: 118.171.31.194 (12/09 01:31)
→ a81288653 :麻煩您解釋了 12/09 01:32
→ yhliu :在 Xj=t 時, 其他 Xi 都不超過 t, 這就是 Xj = max. 12/09 01:49
→ yhliu :而要求的是 Xj=max 且 Xj 不超過 x 的機率. 12/09 01:50
→ a81288653 :再次感謝Y大! 12/09 22:43