推 ntme :原來還有下半段的解法真是太厲害了 12/11 23:59
※ 引述《ntme (ntme)》之銘言：
: ln(n)
: lim ------------------------------------------=?
: n->∞ 1 + 1/2 + 1/3 +.........+1/n
: 分子和分母都往無限大所以想用L'Hospital
: 但分母的微分又不會（可以微嗎？？）
: 想說換用夾擠試試看
: ln(n)
: lim------------------ = 0 < 本題
: n->∞ 1+1+1+...+1
: 但另外一邊不知道要怎麼取才恰當
: 還是這題又其他做法呢？
n n-1 k+1
1/2+1/3+...+1/n≦ln(n) =∫1/t dt = Σ ∫ 1/t dt≦1/1+1/2+...+1/(n-1)
1 k=1 k
夾擠 就有了
By the way, 這題我在清大考古有看過
夾擠那個方法是剛剛想出來的
當時我是用一個"比較"麻煩的做法
n
因為用圖形看的話 n夠大時 ∫ 1/t dt 就大致上等於 1/n
n-1
所以我就猜了這個性質(我有證出來)
if b_n≧0 , Σb_n → +inf , lim a_n/b_n = 1
n→inf
Σa_n
then ──── → 1
Σb_n
也就是說 當n夠大時 a_n跟b_n幾乎一樣的話
則加起來也差不多
不過這邊Σb_n → +inf一定要有
如果單純是Σb_n收斂的話，前面有限項個a_n or b_n就會影響最後的值
就因為Σb_n → +inf所以前面有限項都被壓成0了
@@ 原來夾擠就出來了 我當時還以為他要我們自己發現這件事...
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