[微積] Riemann sum

[sm008150204 (風切羽狂)]

Assume that f is cts on [0,1], and diff on (0,1). We define

      1　　　　　        n
En = ∫ f(x)dx -  (1/n) sum f(i/n)
      0                 i=1

Find  lim n．En
     n->inf

這題我不知道答案也不確定，但我覺得如果存在的話答案應該是:(f(0)-f(1))/2

我想我的答案只要不要遇到震盪很嚴重的函數的話應該是沒問題，

上來想請問各位大大的意見，希望大家一起來討論一下。　謝謝大家～

如果有不存在的反例希望能舉一下，真的蠻好奇這題的答案是多少。

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如果你的面前有陰影的話，別怕！

那是因為你的背後有陽光

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※ 編輯: sm008150204     來自: 140.113.25.162       (12/12 15:45)
推 herstein    :你可以做個例子猜猜答案，f(x)=x, x^2,...
推 herstein    :好像f(x)=x^2就不滿足你這答案了XD
推 herstein    :歹勢XDx^2好像還是滿足XD
沒關係XD
我試過f(x)=1,x,x^2都ok. 所以我猜測只要是polynomial就都ok.
然後所有連續函數都能用多項式去逼近他 ← 有點忘了，不太確定
所以我才覺得是(f(0)-f(1))/2
推 cometic     :如果f為二次連續可微 則結論正確
推 cometic     :更新~如果f'可積 則結論正確
請問該如何才能得到此結論呢？
→ znmkhxrw    :C大是用bounded variation證?
※ 編輯: sm008150204     來自: 140.113.127.188      (12/13 00:39)
推 cometic     :我的想法是照 f'可積的性質下去做~
→ cometic     :當然 這也就是我為什麼要加f'可積的理由..
推 cometic     :說不定其他人有更好的結果~
推 znmkhxrw    :能講怎麼做嗎 蠻好奇的
→ znmkhxrw    :我有"印象"之前大二在B.V.的範圍"好像"有看過~"~
推 cometic     :若有10人以上想知道我就po~  XD~
→ sneak       : 若有10人以上想知道我 https://noxiv.com
→ sneak       : 歹勢XDx^2好像還是 https://daxiv.com
→ sneak       : //daxiv.com
→ sneak       :  https://daxiv.com
→ sneak       : 我的想法是照 f'可積 https://muxiv.com
→ muxiv       : 如果f為二次連續可微  https://moxox.com