推 herstein :這應該是可以實際把p_n造出來的 12/16 16:51
→ herstein :可能不唯一~~但是可以給一個例子 12/16 16:51
→ znmkhxrw :我有試著用x^2去逼逼看 發現系數好難控制= = 12/16 16:53
推 cometic :可證明 在R上不可能有多項式Pn(x)-->|x| uniformly 12/18 23:38
我知道WAT要defined[a,b]才能用
所以認為這題目怪怪的 而且都沒聽過在整個R上可以pointwisely
所以朝著證明它是錯的 它是對的 這兩個方向去證
果然它是對的XD
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Claim：
if f is continuous on R
then there exists a sequence of polynomials Pn s.t. Pn→f pointwisely
idea：
每個[-m,m]區間，by WAT，都有自己的一串逼近的多項式，可是超出這個範圍後
就不適用了，如何選取某個多項式讓n夠大時都能逼近f(x)？
pf：
Consider [-m,m] , m€Natural numbers
By W.A.T., take ε=1/m , there exists Pm s.t. │Pm(x)-f(x)│<1/m for x€[-m,m]
(W.A.T.：if f€C[a,b]
then for all ε>0, there exists polynomial P_ε
s.t. │P_ε(x)-f(x)│<ε for x€[a,b])
Let T_n(x)=:Pn(x)
Then for each x€R, x€[-m,m] for all m≧m* (m* is dependent on x)
hence │Pn(x)-f(x)│< 1/n , for all n≧m* ---(●)
take limit to n, Pn(x)→f(x) #
Note：
逐點的關鍵就在於" m* is dependent on x "
如果是independent的話，(●)式就能說明它是uniformly了
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