Re: [微積] Riemann sum

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《sm008150204 (風切羽狂)》之銘言：
: Assume that f is cts on [0,1], and diff on (0,1). We define
:       1　　　　　        n
: En = ∫ f(x)dx -  (1/n) sum f(i/n)
:       0                 i=1
: Find  lim n．En
:      n->inf
: 這題我不知道答案也不確定，但我覺得如果存在的話答案應該是:(f(0)-f(1))/2
: 我想我的答案只要不要遇到震盪很嚴重的函數的話應該是沒問題，
: 上來想請問各位大大的意見，希望大家一起來討論一下。　謝謝大家～
: 如果有不存在的反例希望能舉一下，真的蠻好奇這題的答案是多少。

C大那個我證出來了 確實需要f'exists and Riemann-integrable on [a,b]
不過我這題有印象在大二是在Variation的章節看過...不過這做法沒用到variation
算了...以後有機會再找找看

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if f' exists bounded and Riemann-integrable on [a,b]

         b         b-a  n       b-a                   f(a)-f(b)
then n*[∫f(x)dx - ──Σ f(a + ──*i) ]  → (b-a) * ────  = L
         a          n  i=1       n                       2
        ~~~~~~~~   ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
           (A)              (B)

<pf>
                         b
Since f' exists, we know∫f(x)dx exists
                         a
              b-a
Let c_i = a + ──*i , I_i = [c_(i-1),c_i]
               n

       n   c_i
(A) = Σ  ∫       f(x)dx
      i=1  c_(i-1)

       n   c_i
(B) = Σ  ∫       f(c_i)dx
      i=1  c_(i-1)

           n   c_i
(A)-(B) = Σ  ∫      [f(x)-f(c_i)] dx
          i=1  c_(i-1)

           n   c_i
(MVT)   = Σ  ∫      f'(e_i(x))(x-c_i) dx , where e_i(x)€I_i, dependent on x
          i=1  c_(i-1)


Since f' is bounded, we have m_i≦f'(e_i(x))≦M_i

where m_i =   inf  f, M_i =   sup f (independent of x)
            x€I_i          x€I_i

       n   c_i                             n   c_i
hence Σ  ∫      m_i(x-c_i) dx≦(A)-(B)≦Σ  ∫      M_i(x-c_i) dx
      i=1  c_(i-1)                        i=1  c_(i-1)
      ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~           ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
                (C)                                 (D)

(我作 n*(D) → L 就好，n*(C) 仿造即可，之後夾擠定理 done)

       n        c_i
(D) = Σ M_i *∫      (x-c_i)dx
      i=1       c_(i-1)

       n          1
    = Σ M_i * {──[(c_i)^2 - (c_(i-1))^2] - c_i*[c_i - c_(i-1)]}
      i=1         2

       n          1
    = Σ M_i * {──[c_i + c_(i-1)]*[c_i - c_(i-1)] - c_i*[c_i - c_(i-1)]}
      i=1         2

       n                           1
    = Σ M_i * {[c_i - c_(i-1)]*(──[c_i + c_(i-1)] - c_i)}
      i=1                          2

       n                          1
    = Σ M_i * {[c_i - c_(i-1)]*──[-c_i + c_(i-1)]}
      i=1                         2

       -1   n                                                  b-a
    = ── Σ M_i * [c_i - c_(i-1)]^2 , where c_i - c_(i-1) = ──
        2  i=1                                                  n

       -(b-a)^2   n
    = ───── Σ M_i
         2n^2    i=1

              -(b-a)   b-a   n
Hence n*(D) = ─── * ── Σ M_i
                 2      n   i=1
                       ~~~~~~~~~~~
                           ↓  b
                      goes to ∫f'(x)dx = f(b) - f(a)
                               a

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◆ From: 1.171.17.168
→ znmkhxrw    :關鍵在於不能太早把x估掉，不然夾不出來
→ znmkhxrw    :會有1/2也是因為去積x才有的
推 sm008150204 :十分感謝！！
推 ckp4131025  :是Z大 >////<
推 cometic     :(A)-(B)那個不等式有小錯誤
推 cometic     :確實需要f'exists and Riemann-integrable on [a,b]?
→ cometic     :我只知道 若只有f是連續 則極限值未必收斂