Re: [線代] 矩陣分裂的問題

[Annihilator (> No LOVE (%))]

※ 引述《rnf0 (rnf0)》之銘言：
: 大家好:
: 請問
: Let A^(2*2) = [2, 3, 1, 2] B^(2*2) = [2, 13, -1, 6]
: If AC + CA = B then C = ?
: 這種題目除了解 4*4 線性方程組以外，有比較聰明的做法嗎?
: 感謝!

  令 AY = YD where Y=[y1,y2], D=[λ1,0 ; 0,λ2], Ay1=λ1y1, Ay2=λ2y2

  則
      By1 = ACy1 + CAy1 = ACy1 + λ1Cy1 = (A+λ1I)Cy1
      By2 = ACy2 + CAy2 = ACy2 + λ2Cy2 = (A+λ2I)Cy2

  因此
        C = Z(Y^-1), where Z=[z1,z2], z1=[(A+λ1I)^-1]By1, z2=[(A+λ2I)^-1]By2

  考慮 (A+λ1I)(A+λ2I) = 2(λ1+λ2)A = (2trA)A

  得
     (2trA)ACy1 = (A+λ1I)(A+λ2I)Cy1 = (A+λ2I)By1 = ABy1 + (detA/λ1)By1
     (2trA)ACy2 = (A+λ1I)(A+λ2I)Cy2 = (A+λ1I)By2 = ABy2 + (detA/λ2)By2

  合
      (2trA)ACY = ABY + (detA)BY(D^-1)

  (想到更好的)

  考慮 A^2 = (trA)A - (detA)I, 則

  ABA = A(AC+CA)A = (A^2)CA + AC(A^2) = (trA)ACA-(detA)CA + (trA)ACA-(detA)AC

      = (2trA)ACA - (detA)B

  因 A 可逆 且 trA 非零

  故        1     detA
      C = ----B + ----(A^-1)B(A^-1)
          2trA    2trA

        = (1/8)[2,13;-1,6] + (1/8)[2,-3;-1,2][2,13;-1,6][2,-3;-1,2]

        = [1,1;-1,2]

--
                                            ～by Jackary P.～

--
推 rnf0        :感謝!! 想再請問一下，第一步的AY=YD是怎麼想到的?
推 LPH66       :就只是對角化而已  注意到 D 是 A 的對角化結果
→ LPH66       :y1 y2 就是分別對應 λ1 λ2 兩個特徵值的特徵向量
推 rnf0        :噢 我看懂了 謝謝樓上
※ 編輯: Annihilator     來自: 60.248.164.22        (12/17 14:20)
推 rnf0        :新的解法是怎麼想出來的呢@@? 太神來一筆了
推 rnf0        :瞭解了，是利用 A^2-tr(A)x+det(A)=0
→ Annihilator :                          det(A)I
→ Annihilator :               A^2-tr(A)A+det(A)I=0
推 rnf0        :XD 打錯了