[分析] Differentiability of Σcoskx/k^2 on R

[arrenwu (狂氣的 mad engineer)]

           ∞
Let f(x) = Σ cos(kx)/k^2
           k=1

Is f(x) differentiable on R?

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我覺得 f(x) 在 R 上是可微分的。

            n
令 fn(x) = Σ cos(kx)/k^2
           k=1
很明顯 fn(x) 在 R 上面對於任何點都是收斂的。

fn'(x) = Σsin(kx)/k 這也很直接。

剩下如果可以證明 fn'(x) converges uniformly on R as n goes infinity，
那就可以完成整個證明，但是目前我想不出有什麼可用的定理。

想請大家給個提示，或者是證明 f(x) is not differentiable on R

謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 67.194.232.240
推 jack7775kimo:fn'在2k*pi這些點上面不收斂
喔喔!!! 感謝你的幫忙。
原來我朝著收斂的方向作是錯的 Orz
※ 編輯: arrenwu         來自: 67.194.232.240       (12/18 19:17)
→ cometic     :fn'(x)=Σ-sin(kx)/k
→ cometic     :f(x)在2k*pi上不可微分~其他點均可微分
推 cometic     :f'(x)=Σ-sin(kx)/k ,x≠2k*pi其中k為整數
→ cometic     :Σ-sin(kx)/k在 x=2k*pi上均為0但f'(x)在該點不存在~
→ keroro321   :f(x)=(x^2)/4 - (πx)/2 + (π^2)/6 ,  0≦x≦2π
→ suhorng     :推樓上