[代數] 有限子環的充要條件

[rnf0 (rnf0)]

(R,+,*) 是一個環，S 是 R 的非空有限子集，請問下列條件是否可以確定(S,+,*)為一個
環？

for all a,b belong S, both a+b and a*b belong S.

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◆ From: 36.226.71.59
推 bineapple   :不行 inverse element不一定也在S中
推 willydp     :如果你不計較ring裡面有沒有1, 它就是
→ rnf0        :請問怎麼證明它可以是一個環? 不管1
推 willydp     :對任意x在S裡面, 看x, 2x, 3x, ...
→ willydp     :因為S finite, 所以必然有個ix = jx
→ willydp     :這個時候(j-i)x = 0 (因為R是ring), 所以0在S裡面
→ willydp     :因為(j-i-1)x + x = 0, 所以(j-i-1)x = -x
→ willydp     :有0, 有加法反元素, 加上原本R的結構, 所以是個ring
→ nonumber    :ring有1很重要嗎 2Z是ring可是沒1
推 willydp     :很多基礎的書會假設ring都有1
→ willydp     :ring有1的話很多事情會變得很簡單
→ rnf0        :懂了! 原本想說造個不會回到 0 的運算，就不能用鴿籠
→ rnf0        :剛剛發覺這種運算會造成矛盾，會使得 0 = 其他數
→ sneak       : 懂了! 原本想說造個不 https://noxiv.com
→ sneak       : 剛剛發覺這種運算會造成 https://daxiv.com
→ sneak       : 因為(j-i-1)x  https://daxiv.com
→ sneak       : //noxiv.com http://yofuk.com
→ muxiv       : 很多基礎的書會假設ri https://moxox.com